湖北省枣阳市七中2016届高三下学期期中考试数学（理）试卷

湖北省枣阳市第七中学高三年级2015-2016学年度下学期期中考试数学(理科)试题

★ 祝考试顺利 ★

时间：120分钟 分值150分_

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）

1．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ）

A．12 B．13 C．14 D．15

2．已知，，则（ ）

1. B.C.D.

3．在中，若 点满足，则（ ）

A．B．C．D．

4．已知，，则（ ）

A．B．C．D．

5．在各项都为正数的等比数列{a_n}中，a₁＝2，a₆＝a₁a₂a₃，则公比q的值为(　　)

1. B. C．2 D．3

6．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是

A．B．

C．D．

7．如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为（ ）

A．B．C．D．

8．已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．B．

C．D．

9．函数f（x）＝x＋lnx的零点所在的区间为（ ）

A.（－1，0） B.（，1） C.（1，2） D.（1，e）

10．已知函数则不等式的解集为（ ）

A．B．

C．D．

11．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）

A．2 B．4 C．D．

12．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（    ）

A．

B．

C．

D．3

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）

13．在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是 ．

14．已知，则二项式的展开式中的系数为 ．

15．已知命题，，则命题P的否定是 ．

16．已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．设向量m= （cosA，-sinA），n= （cosA, sinA），且 ，若，则_______．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列。

（1）求数列的公比；

（2）证明：对任意成等差数列

18．（本题12分）有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成．编码规则如下表．明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成．（如：明文取的三个字母为AFP，则与它对应的五个数字（密码）就为11223）

（1）假设密码是11211，求这个密码对应的明文；

（2）设随机变量表示密码中所含不同数字的个数．

①求；②求随机变量的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，，，，平面平面，是线段上一点，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设三棱锥与四棱锥的体积分别为与，求的值．

20．（本题12分）椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=．过F₁的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF₂的周长为8．

（1）求椭圆E的方程．

（2）在椭圆E上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点P，Q，且△POQ的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△POQ的面积；若不存在，请说明理由．

21．（本题12分）已知函数，其中.

（1）当时判断的单调性；

（2）若在其定义域为增函数，求正实数的取值范围；

（3）设函数，当时，若，总有成立，求实数的取值范围.

四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.解答时请写清题号.

22．（本题10分）如图，，是上的两点，为外一点，连结，分别交于点，，且，连结并延长至，使∠∠．

（1）求证：；

（2）若，且，求．

23．（本题10分）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．

24．（本题10分）已知，若是的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．

参考答案

1．A

【解析】

试题分析：抽到的所有的号码构成等差数列，首项为8，公差为20，所以所有的数为8+20n，问卷C位于区间[751，1000]，令751<8+20n<1000，所以解不等式可知n值有12个，做问卷C的人数为12

考点：系统抽样

2．B

【解析】

试题分析：因为，所以，故选B.

考点：集合的补集运算.

3．A

【解析】

试题分析：由，可得，，故选择A

考点：平面向量基本定理

4．D

【解析】

试题分析：由条件概率的公式得故选D.

考点：条件概率的公式.

5．C

【解析】a₁q⁵＝(a₁q)³，q²＝，因为各项均为正数，所以q＝a₁＝2.

6．A

【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是一个正方体挖去一个直径等于正方体棱长的球所得的组合体，所以该几何体的表面积,故选A．

考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．

7．C

【解析】

试题分析：因为函数的图象关于点中心对称，所以，根据诱导公式可得，所以，即，，令得故选C.

考点：正弦函数的图象与性质.

8．B

【解析】

试题分析：由于抛物线的焦点为，又因为双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，所以双曲线的半焦距；从而，

所以双曲线的渐近线方程为；

故选B．

考点：双曲线与抛物线的简单几何性质．

9．B

【解析】

试题分析：由于f（x）是增函数，且定义域为（0，＋∞）

f（）＝－1＜0，f（1）＝1＞0，故零点在（，1）内，选B

考点：函数的零点

10．C

【解析】

试题分析：当时，即为解得当时，即为解得，所以不等式的解集为.

考点：分段函数与不等式.

11．C

【解析】

试题分析：抛物线的焦点到准线的距离为，而因此选C.

考点：抛物线性质

12．A

【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，

则正四面体的高．

而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为，选A．

13．

【解析】

试题分析：求几何概型概率问题，首先要明确测度是什么，本题是在边上随机取一点，所以测度是长度，当时，,所以的概率为.

考点：几何概型概率

14．-80

【解析】

试题分析：因为，所以展开式中的系数为

考点：定积分，二项式定理

15．，．

【解析】

试题分析：因为所给命题P是一个全称命题，其命题的否定就是特称命题，即，．

考点：命题的否定；特称命题与全称命题．

16．3

【解析】

试题分析：运用向量的数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式，求得A，再由余弦定理，解方程可得b=3．

由于A为锐角，则2A=120°，解得A=60°，由余弦定理可得

或-1（舍去）．

考点：利用余弦定理解三角形

17．（1）；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）求等比数列的公比；注意题中限制条件；（2）证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法：证明；二是等差中项法，证明，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可

试题解析：（1）设数列的公比为，由成等差数列，得，

即，由得，解得（舍去），

所以；

（2）由（1）得：数列是以-2为公比的等比数列，所以

则，

即.

考点：求等比数列的公比，等差数列的证明.

18．（1）AEM；（2）①，②详见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据题意对照表格当中明文字母和密码数字即可求解；（2）①：分析表格中数据可知只能取表格中第1，2列中的数字作为密码，再根据古典概型即可求解，②：穷举所有可能的的取值及其对应情况，再根据古典概型计算其对应概率即可得到概率分布和数学期望．

试题解析：（1）根据题意对照表格当中明文字母和密码数字，从而可知对应明文为AEM；（2）①：分析表格中的数字可知，密码的第1，2列均由数字1，2组成，∴时，只能取表格中的第1，2列中的数字作为密码，∴；②：由题意可知，的取值为2，3两种情况，∴

，∴的分布列如下所示：

∴．

考点：1．古典概型求概率；2．随机变量的概率分布及其期望．

19．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）证明:平面平面,平面平面,

平面，，平面, 1分

∵平面2分

四边形是直角梯形，,

都是等腰直角三角形,

4分

平面，平面，,

平面

又平面所以6分

（Ⅱ）解: 三棱锥与三棱锥的体积相等,

由（ 1 ） 知平面,

得, 9分

设由,

得

从而12分

【考点定位】本题考查直线和平面垂直、直线和平面平行、二面角等基础知识，意在考察学生空间向量能力、推理论证能力和基本的运算能力．

20．（1）．（2）在椭圆E上，不存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点P，Q，且△POQ的面积最大

【解析】

试题分析：（1）由已知得e=，4a=8，由此能求出椭圆E的方程．

（2）当∠POQ=90°时，S_△POQ有最大值，求出点O到直线AB的距离，从而得到m²+n²=2，又，两式联立，无解，故在椭圆E上，不存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点P，Q，且△POQ的面积最大．

解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=，

∴，e=，∴3a²=4b²，

∵△ABF₂的周长为8，∴4a=8，解得a=2，b=，c=1，

∴椭圆E的方程为：．…（4分）

（2）不存在，理由如下：

在△POQ中，|OP|=|OQ|=1，S_△POQ=|OP|×|OQ|×sin∠POQ

当且仅当∠POQ=90°时，S_△POQ有最大值，

当∠POQ=90°时，

点O到直线AB的距离为d=，

∴d==，∴m²+n²=2，

又，

两式联立，解得：无解，

故在椭圆E上，不存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点P，Q，且△POQ的面积最大．…（12分）

考点：椭圆的简单性质．

21．（1）增函数；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：(1) 本小题首先求得函数的定义域，再利用导数的公式和法则求得函数的导函数，发现其在恒大于零，于是可知函数在上单调递增；(2) 本小题首先求得函数的定义域，再利用导数的公式和法则求得函数的导函数，根据函数在其定义域内为增函数，所以，，然后转化为最值得求解；（3）本小题首先分析“，，总有成立”等价于 “在上的最大值不小于在上的最大值”，于是问题就转化为求函数的最值.

试题解析：（1）的定义域为,且>0

所以f(x)为增函数. 3分

（2），的定义域为

5分

因为在其定义域内为增函数，所以，

而，当且仅当时取等号，所以9分

（3）当时，，

由得或

当时，；当时，．

所以在上，11分

而“，，总有成立”等价于

“在上的最大值不小于在上的最大值”

而在上的最大值为

所以有

所以实数的取值范围是14分

考点：1.导数公式与法则；2.函数的单调性；3.等价转化.

22．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据圆的割线性质及平面几何知识可证明，从而得到；（2）可证，则，由此可得

，把已知条件代入整理即可求得.

试题解析：（1）连结，

因为,

, 又因为,

所以,

所以.

由已知,,

所以, 且,

所以, 所以.

(2) 因为,

所以∽, 则,

所以

又因为,, 所以,

所以.

所以.

考点：三角形相似与全等的证明以及圆的相关性质.

23．（1）；（2）线段的长为.

【解析】

试题分析：（1）由圆C的参数方程为参数），化为普通方程为，利用，即得圆C的极坐标方程；（2）求线段的长，由于三点共线，故，可设，，则，关键是求出的值，由可求得的值，由可求得的值，从而可解.

试题解析：（1）圆的普通方程为，又，所以圆的极坐标方程为；

（2）设为点的极坐标，则有，解得，设为点的极坐标，，解得，由于，所以，所以线段的长为.

考点：参数方程，普通方程，与极坐标方程互化，极坐标方程的应用.

24．．

【解析】

试题分析：根据已知求得，对应的集合因为是的充分而不必要条件，所以可得列的等式关系．

试题解析：由得，所以：，：或．

由得，

所以：，：或．

因为是的充分而不必要条件，所以，

解得，所以实数的取值范围为．

考点：1．解不等式；2．利用充分必要条件求参数．