湖南省衡阳市第八中学2017届高三实验班第一次质检数学（文）试卷

衡阳八中2017届高三年级第一次质检试卷

文数（试题卷）

注意事项：

1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次质检试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★

第I卷 选择题（每题5分，共60分）

本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.设集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x+1＞0}，则集合A∩B等于（ ）

A．{x|﹣2≤x≤﹣1} B．{x|﹣2≤x＜﹣1}

C．{x|﹣1＜x≤3} D．{x|1＜x≤3}

2.复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

资*源%库3.春节前，某市一过江大桥上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是（ ）

A．B．C．D．

4.已知，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）

A．4 B．﹣4 C．D．

5.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂+a₄+a₉=24，则S₉=（ ）

A．36 B．72 C．144 D．70

6.已知函数f（x）=3cos（﹣ωx）（ω＞0），函数f（x）相邻两个零点之间的绝对值为，则下列为函数f（x）的单调递减区间的是（ ）

A．[0，]B．[，π]C．[，]D．[，]

7.设不等式4^x﹣m（4^x+2^x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）

8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A．10+B．10+C．6+2+D．6++

9.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂作平行于C的渐近线的直线交C于点P．若PF₁⊥PF₂，则C的离心率为（ ）

A．B． C．2 D．

10.某程序框图如图所示，若输出的S=120，则判断框内应填入（ ）

A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？

11.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）=f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=1﹣2|x﹣|，则函数g（x）=f﹣x在区间内不同的零点个数是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．9

12.对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数g（x）=x³﹣x²+3x﹣，则g（）+g（）+…+g（）=（ ）

A．2013 B．2014 C．2015 D．2016

第II卷 非选择题（共90分）

二.填空题（每题5分，共20分）

13.若命题“存在x∈R，使得2x²﹣3ax+9＜0成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ．

14.已知变量，满足约束条件，则的最大值是 ．

15.已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是___________．

①若m∥β，n∥β，m、nα，则α∥β .

②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，nγ，则m⊥n .

③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β .

④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n .

16.已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若= ．

资*源%库

三.解答题（共8题，共70分）

17.(本题满分12分)

设数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=（b_n﹣1）且a₂=b₁，a₅=b₂

（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，设T_n为{c_n}的前n项和，求T_n．

18.（本题满分12分）

从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．

（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；

（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；

（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．

19.（本题满分12分）

在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，D、E分别是线段BB₁、AC₁的中点．

（1）求证：DE∥平面A₁B₁C₁；

（2）若平面ABC⊥平面BB₁C₁C，BB₁=4，求三棱锥A﹣DCE的体积．

20.（本题满分12分）

如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，点A是椭圆C上任意一点，且△AF₁F₂的周长为2（+1）

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点B在直线l：y=上，且OA⊥OB，点O到直线AB的距离为d（A，B），求证：d（A，B）为定值．

21.（本题满分12分）

已知函数．

1. 若函数在区间上为增函数,求的取值范围;
2. 当且时,不等式在上恒成立,求的最大值．

22.（本题满分10分）

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．

衡阳八中2017届高三年级第一次质检参考答案数学

13.[﹣2，2]

14.9

15.②④

16.

17.

（Ⅰ）∵数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=（b_n﹣1），

∴b₁=S₁=，解得b₁=3．

当n≥2时，b_n=S_n﹣S_n﹣1=，

化为b_n=3b_n﹣1．

∴数列{b_n}为等比数列，

∴．

∵a₂=b₁=3，a₅=b₂=9．

设等差数列{a_n}的公差为d．

∴，解得d=2，a₁=1．

∴a_n=2n﹣1．

综上可得：a_n=2n﹣1，．

（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=（2n﹣1）•3ⁿ．

∴T_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n﹣3）•3^n﹣1+（2n﹣1）•3ⁿ，

3T_n=3²+3×3³+…+（2n﹣3）•3ⁿ+（2n﹣1）•3ⁿ⁺¹．

资*源%库 ∴﹣2T_n=3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ﹣（2n﹣1）•3ⁿ⁺¹

=﹣（2n﹣1）•3ⁿ⁺¹﹣3=（2﹣2n）•3ⁿ⁺¹﹣6．

∴．

18.

（1）由频率分布直方图得：

前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，

后三组频率为1﹣0.82=0.18，人数为0.18×50=9，

∴这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为800×0.18=144．

（2）由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2，

设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，

又m+2=2（7﹣m），解得m=4，所以第六组人数为4，

第七组人数为3，频率分别等于0.08，0.06.分别等于0.016，0.012．其完整的频率分布直方图如图．

（3）由（2）知身高在[180，185）内的人数为4，设为a、b、c、d，

身高在[190，195]内的人数为2，设为A、B，若x，y∈[180，185）时，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种情况；

若x，y∈[190，195]时，有AB共1种情况；

若x，y分别在[180，185）和[190，195]内时，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8种情况．

所以基本事件总数为6+1+8=15，

事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7，

∴P（|x﹣y|≤5）=．

19.

（1）证明：取棱A₁C₁的中点F，连接EF、B₁F

则由EF是△AA₁C₁的中位线得EF∥AA₁，EF=AA₁

又DB₁∥AA₁，DB₁=AA₁

所以EF∥DB₁，EF=DB₁

故四边形DEFB₁是平行四边形，从而DE∥B₁F

所以DE∥平面A₁B₁C₁

（Ⅱ）解：因为E是AC₁的中点，所以V_A﹣DCE=V_D﹣ACE=

过A作AH⊥BC于H…

因为平面平面ABC⊥平面BB₁C₁C，所以AH⊥平面BB₁C₁C，

所以==

所以V_A﹣DCE=V_D﹣ACE==

20.

（1）解：由题意可得：=，a²=b²+c²，2a+2c=2，解得a=，c=b=1．

∴椭圆C的标准方程为=1．

（2）证明：设A（x₀，y₀），B，

∵OA⊥OB，∴=0．∴x₁=﹣．

①若x₁≠x₀，k_AB=，直线AB的方程为：y﹣=（x﹣x₁），

即x+（x₁﹣x₀）y+﹣x₁y₀=0，

∴d（A，B）=，

∴[d（A，B）]²==，

∵，

∴[d（A，B）]²===1，

∴d（A，B）=1，为定值．

②若x₁=x₀，设直线OA的方程为：y=kx，则B，A，

代入椭圆方程可得：+=1，解得k=．

∴直线AB的方程为：x=±1，点O到直线AB的距离d（A，B）=1．

综上可得：d（A，B）为定值1．

21.

1. 因为,
   ,又函数在区间上为增函数,
   所以当时,恒成立,
   所以,即的取值范围为.
2. 当时,,故不等式,

即对任意恒成立,

令则．

令,

则在上单调递增,

因为,

所以存在使,

即当时,,即,

当时,,即,

所以在上单调递减,在上单调递增．

令,即,

所以,

因为且.

所以的最大值为3.

22.

（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，

∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：

ρ²=4ρcosθ，

∴x²+y²=4x，

∴（x﹣2）²+y²=4．

（2）将代入圆的方程（x﹣2）²+y²=4得：

（tcosα﹣1）²+（tsinα）²=4，

化简得t²﹣2tcosα﹣3=0．

设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，

则，

∴|AB|=|t₁﹣t₂|==，

∵|AB|=，

∴=．

∴cos．

∵α∈[0，π），

∴或．

∴直线的倾斜角或．