福建省厦门市湖滨中学2017届高三上学期期中考试数学（理）试卷

厦门市湖滨中学2016---2017学年11月月考

高三理科数学试卷

本卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合，集合，则集合真子集的个数是
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
   2. 下列说法中错误的是
   A.若命题，则
   B.“”是“”的充分不必要条件
   C.命题“若”的逆否命题为:“若，则0”
   D.若为假命题，则均为假命题
   3. 等差数列的前项和为，若公差，，则当取最大值时，的值为
   A．5 B．6 C． 7 D．9
   4. 已知为等差数列，若，则的值为
   A．B．C．D．
   5. 函数在定义域内零点的个数为
   A．1 B．2 C．3 D．4
   6. 设为实数，函数的导数是，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为
   A．B．C．D．
   7. 己知f(x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2^x，则f(log₄9)的值为
   A． 3 B．一C．D．3
   8. 若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（ ）
   1. B.C.D.

9.已知,函数是它的反函数,

则函数的大致图象是

10. 正项等比数列{}中的a₁、a₁₁是函数f（x）＝＋6x－3的极值点，则

A．1 B．2 C．D．－1

11.已知三棱锥，两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为

A．B．或

C．D．或

12. 已知a、b∈R，当x＞0时，不等式ax+b≥lnx恒成立，则a+b的最小值为

A．-1 B．0 C．e D.1

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知实数、满足，则的最小值是______.

14.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．

15.三棱锥中，侧棱平面，底面是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球体积等于

16.记函数的导数为，的导数为的导数为。若可进行次求导，则均可近似表示为：

若取，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数（用分数表示）

三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

资*源%库 17（本题满分12分）

已知数列是递增的等比数列，前项和为，已知

（Ⅰ）求数列的通项公式;（II）若数列，满足，求的前项和.

18．（本题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，

AB∥CD，且AB＝1，AD＝CD＝2，E在线段PD上．

（Ⅰ）若E是PD的中点，试证明：AE∥平面PBC；

（Ⅱ）若异面直线BC与PD所成的角为60°，

求四棱锥P－ABCD的侧视图的面积．

19. （本题满分10分）

S_n为数列{a_n}的前n项和．已知a_n>0，a＋2a_n＝4S_n＋3.

（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；（Ⅱ）设b_n＝，求数列{b_n}的前n项和．

---

20. （本题满分12分）

如图在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，

BC=BC₁＝，AB＝CC₁＝2，点E在棱BB₁上.

(Ⅰ)证明C₁B⊥平面ABC；

(Ⅱ)试确定点E位置，使得二面角A-C₁E-C的余弦值为.

21. （本题满分12分）

已知函数

(Ⅰ) 若求单调区间和极值;

(Ⅱ) 若在区间上恰有两个零点,求的取值范围

22. （本题满分12分）

已知函数．（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）判断的零点个数，说明理由；（Ⅲ）若有两个零点，证明：．

$来&源：

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	$来&源：10	11	12
答案	C	D	A	D	C	A	B	A	D	B	D	B

13.-2;14.67/66;1516.65/24

17解：;

18．解：（Ⅰ）解法一：在四棱锥P－ABCD中，取PC的中点F，连结EF、FB，

因为E是PD的中点，所以EFCDAB，　　　………………………………2分

所以四边形AEFB是平行四边形，　　　　　…………………………………………3分

则AE∥FB，

而AE平面PBC，FB平面PBC，　　　…………………………………………5分

资*源%库∴AE∥平面PBC．　　　　　　　　　　……………………………………………6分

解法二：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设PB＝， 则P（0,0，t），D（－1,2，0），

C（1,2，0），A（－1,0，0），所以E（－，1，），，…………２分

设平面PBC的法向量为，则所以即

取，得到平面PBC的法向量为．

所以＝0，而AE平面PBC，则AE∥平面PBC.　 　　……………………5分

（Ⅱ）同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，

设（t＞0），则P（0,0，t），

D（－1,2，0），C（1，2，0），

所以＝（－1,2，－t），＝（1,2，0），

则||＝，||＝，　　…………9分

由已知异面直线BC与PD成60°角，

所以·＝＝，

又·＝－1×1＋2×2＋(－t)×0＝3，

所以＝3，解得t＝，即PB＝所以侧视图的面积为S＝×2×＝.　　　　　　 ……………………12分

19[

解　(1)由a＋2a_n＝4S_n＋3，

可知a＋2a_n＋1＝4S_n＋1＋3.

可得a－a＋2(a_n＋1－a_n)＝4a_n＋1，即

2(a_n＋1＋a_n)＝a－a＝(a_n＋1＋a_n)(a_n＋1－a_n)．

由于a_n>0，可得a_n＋1－a_n＝2.又a＋2a₁＝4a₁＋3，解得a₁＝－1(舍去)，a₁＝3.

所以{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a_n＝2n＋1. ……………………5分

(2)由a_n＝2n＋1可知b_n＝＝＝.

设数列{b_n}的前n项和为T_n，则

T_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝

＝. ……………………10分

18.（1）因为BC＝，CC₁＝BB₁＝2，∠BCC₁＝，

在△BCC₁中，由余弦定理，可求得C₁B＝， ……………………2分

所以C₁B²＋BC²＝CC，C₁B⊥BC．

又AB⊥侧面BCC₁B₁，故AB⊥BC₁，

又CB∩AB＝B，所以C₁B⊥平面ABC．…………………5分

（2）由（1）知，BC，BA，BC₁两两垂直，

以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，

则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(，0，0)，

＝(0，2，－)，＝＋λ＝＋λ＝(－λ，0，λ－)，

设平面AC₁E的一个法向量为m＝(x，y，z)，则有

即

令z＝，取m＝(，1，)，………9分

又平面C₁EC的一个法向量为n＝(0，1，0)，

所以cosm，n＝＝＝，解得λ＝．

所以当λ＝时，二面角A-C₁E-C的余弦值为.………………………12分

21．解: (1)

‘减区间；增区间；极小值1/2………………6分

(2)由

由及定义域为,令

①若在上,,在上单调递增,

因此,在区间的最小值为.

②若在上,,单调递减;在上,,单调递增,因此在区间上的最小值为

③若在上,,在上单调递减,

因此,在区间上的最小值为.

综上,当时,;当时,;

当时,

可知当或时,在上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.

当时,要使在区间上恰有两个零点,则 ∴即,此时,.

所以,的取值范围为………………12分

22．本小题主要考查函数的零点、函数的最值、导数及其应用、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．

解：（Ⅰ）因为， ………………1分

所以，当，，当，，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，……………2分

故当时，取得最小值为． ………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知的最小值为．

（1）当，即时，没有零点．………………5分

（2）当，即时，有一个零点．………………6分

（3）当，即时，

构造函数，则，当时，，

所以在上单调递增，所以，

因为，所以，

又，故． 又，

所以必存在唯一的，唯一的，使得为的两个零点，

故当时，有两个零点．………………8分

（Ⅲ）若为的两个零点，设，则由（Ⅱ）知．

因为

．

令，则，

所以在上单调递增，因此，．

又，所以，即，

故，

又，且由（Ⅰ）知在单调递减，

所以，所以．………………12分