福建省泉港区第一中学2018届高三上学期期中考试数学（文）

泉港区第一中学高三上学期期中考试

数学（文）

（考试时间：120分钟 总分：150分）

第Ⅰ卷（选择题60分）

1. 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
   1.已知集合，集合，则（ ）
   A．B．C．D．
   2.为虚数单位，复数的虚部为（ ）
   A． 1 B．0 C． D．以上都不对
   3.已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为则双曲线的方程为（ ）
   A．B．C．D．
   4.已知，，则在方向上的投影为（ ）
   1. B.C.D.
      5.已知等比数列的首项为，公比为，满足且，则（ ）
      A.的各项均为正数 B.的各项均为负数C.为递增数列D.为递减数列
      6.函数的图像大致为（ ）
      1. B.C.D.

7. 已知点P的坐标（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x²+y²=16相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）

A．B．C．D．

8.如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是（ ）

A．B．C．D．

9.设函数，把的图象向左平移个单位后，得到的部分图象如图所示，则的值等于（ ）

A．B．C．D．1

10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）

A．B．C．D．

11. 已知数列是等差数列，其前n项和有最大值，若<-1，当其前n项和Sn>0时n的最大值是（ ）

A.24 B.25 C.47 D.48

12. 已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为（ ）

A．B．C.D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若函数，则

14.已知，，则．

15.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四点共圆，则该椭圆的离心率为 ．

16．已知A，B，C是圆x²+y²=1上互不相同的三个点，且满足||=||，则的取值范围是　　 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．(本小题满分12分)

设数列的前项和为,且，

（Ⅰ）证明:数列是等比数列；

（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和为．

18．（本小题满分12分）

在△ABC中，己知，，又△ABC的面积为6。

（Ⅰ）求△ABC的三边长；

（Ⅱ）若D为BC边上的一点，且CD=1，求．

19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=．

（Ⅰ）求证：PC⊥AD； （Ⅱ）求三棱锥M﹣PAB的体积．

20．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点过为F，过F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8．

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过F，且圆C与直线x=相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．

21. （本小题满分12分）

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，证明．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.

（1）求直线和曲线的普通方程；

（2）设直线和曲线交于两点，求.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数（）

（1）当时，解不等式；

（2）令，若在上恒成立，求实数的取值范围.

泉港一中2017-2018学年上学期期中试卷

高三数学（文科）参考答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.2 14.15. 16. [﹣，）．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．(本小题满分12分)

设数列的前项和为,且，

（Ⅰ）证明:数列是等比数列；

（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和为．

解：（Ⅰ）证明：因为，则…………… 1分

所以当时，，……………………… 3分

整理得． ……………………… 4分

由，令，得，解得．……………………… 5分

所以是首项为3，公比为2的等比数列． ……………………… 6分

（Ⅱ）解：因为，……………………… 7分

由，得．

所以 ……………………… 9分[来源:Z.xx.k.Com]

……………………… 11分

所以． ………………………12分

18．（本小题满分12分）

在△ABC中，己知，，又△ABC的面积为6。

（Ⅰ）求△ABC的三边长；

（Ⅱ）若D为BC边上的一点，且CD=1，求．

解：（Ⅰ）设三边分别为

由正弦定理得，∴sin（A+C）=sinCcosA，…………2分

化为sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA，

∴sinAcosC=0，可得…………………………………4分

又

两式相除可得令

则

三边长分别为3，4，5， ……………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知tan∠BAC=，由三角函数定义知tan∠DAC=，……9分

所以tan=tan（∠BAC-∠DAC）===……12 分

19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=．

（Ⅰ）求证：PC⊥AD；

（Ⅱ）求三棱锥M﹣PAB的体积．

证明：（Ⅰ）证法一：连结AC，

由已知得△PAD，△ACD均为正三角形，PA=AC，PD=CD，

∵M为PC的中点，∴PC⊥AM，PC⊥DM，

又AM，DM⊂平面AMD，AM∩DM=M，

∴PC⊥平面AMD，

又AD⊂平面AMD，∴PC⊥AD．

证法二：取AD的中点O，连结OP，OC，AC，

由已知得△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，

又OC∩OP=O，OC，OP⊂平面POC，

∴AD⊥平面POC，

又OP⊂平面POC，∴PC⊥AD．

解：（Ⅱ）∵，PO=OC=，PC=，

∴PO²+OC²=PC²，∴PO⊥OC，

又OP⊥AD，OC∩AD=O，OC，AD⊂平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD，

又=，

∴三棱锥M﹣PAB的体积==．

20．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点过为F，过F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8．

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过F，且圆C与直线x=相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．

解：（Ⅰ）由题意，直线l的方程为y=x﹣，

联立，消去y整理得，

设直线l与抛物线E的交点的横坐标为x₁，x₂，则x₁+x₂=3p，

故直线l被抛物线E截得的线段长为x₁+x₂+p=4p=8，得p=2，

∴抛物线E的方程为y²=4x；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F（1，0），设C（x₀，y₀），则圆C的方程是，

令x=﹣，则，又，

△==＞0恒成立，

设A（），B（，y₄），则y₃+y₄=2y₀，，

∴|FA|•|FB|==

==，

∵x₀≥0，∴|FA|•|FB|∈[3，+∞）．

　21. （本小题满分12分）

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，证明．

解之得，即点的坐标为或．

21.解：（1），且，

所以切线方程，即．

（2）由，

．

，所以在为增函数，

又因为，，

所以存在唯一，使，即且当时，，为减函数，时，为增函数，

所以，，

记，，

，所以在上为减函数，

所以，

所以．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.

（1）求直线和曲线的普通方程；

（2）设直线和曲线交于两点，求.

解：（Ⅰ）因为，

所以

由，

得…………………………3分

因为消去得

所以直线和曲线的普通方程分别为和. …………4分

（Ⅱ）点的直角坐标为，点在直线上，

设直线的参数方程：（为参数），对应的参数为.

…………………………7分

…………………………10分

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数（）

（1）当时，解不等式；

（2）令，若在上恒成立，求实数的取值范围.

解：（Ⅰ）依题意得

当时，原不等式化为：，解得

当时，原不等式化为：，解得

当时，原不等式化为：，解得

综上可得，不等式的解集为…………………4分

（Ⅱ）

；

；

；

所以的最小值为；

则，所以

解得或……………10分