福建省漳州市八校2017届高三下学期3月联考理科数学试卷

漳州市八校第三次联考

高三年数学试卷（理）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1.若集合，则（ ）

A．B．C．D．

2.若为纯虚数，其中R，则 （ ） A．B．C．D．

3．在区间[－1，1]上随机取一个数k，使直线y=k(x+3)与圆x²+y²=1相交的概率为（ ）

A．B．C．D．

4．执行如右图所示的程序框图，则输出的s的值是（ ）

A．7B．6 C．5 D．3

5．在△ABC中，，则的值为（ ）

A．3B．C．D．

6.已知M是面积为1的△ABC内$来&源：的一点(不含边界)，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是( ) A.2 B.3 C.3.5 D.4

7.已知锐角的终边上一点（，），则等于（ ）

A．B．C．D．

8.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）

A．4 B．C．D．8

9．已知满足线性约束条件若的最大值与最小值之差为5，则实数的值为（ ） A．3 B． C．D．1

10．将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则（ ）

A．B．的图象关于对称

C．D．的图象关于对称

11．已知函数是定义在R上的偶函数，为奇函数，时，，则在区间(8，9)内满足方程的实数x为（ ）

A．B．C．资*源%库D．

12．已知函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为（　　　）

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）

13. 若的二项展开式的常数项是，则实数.

14．已知圆和两点，（），若圆上存在点，使得，则的取值范围是 ．

15. 观察如图等式，照此规律，第个等式为　 　．

16. 椭圆的右顶点为，经过原点的直线交椭圆于两点，若，，则椭圆的离心率为 .

三、解答题：(本大题共6小题，共70分)

17.（本题满分12分）

已知数列的前项和为，，且满足

（1）求及通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

18.（本题满分12分）

如图，在三棱柱中，平面，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19.(本小题满分12分)

某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．

（1）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；

（2）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？

20．（本题满分12分已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．

21．（本题满分12分已知函数f（x）=sinx+tanx﹣2x．

（1）证明：函数f（x）在（﹣，）上单调递增；

（2）若x∈（0，），f（x）≥mx²，求m的取值范围．

请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答(本题满分10分)

22．已知直线l：（t为参数），曲线C₁：（θ为参数）．

（1）设l与C₁相交于A，B两点，求|AB|；

（2）若把曲线C₁上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．

23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|3x+a|．

（1）当a=1时，解不等式f（x）≥5；

（2）若存在x₀满足f（x₀）+2|x₀﹣2|＜3，求实数a的取值范围．

高三理科数学参考答案

一、选择题 ACDB DBCB ABAD

二、填空题

13.1 14.[4,6] 15. 16.

19.试题解析：（1）设测试成绩的中位数为，由频率分布直方图得，

，

解得：．……………………………2分

∴测试成绩中位数为．

进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分

（2）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为、，

则，……………………………5分

∴．……………………………6分

∴最后抢答阶段甲队得分的期望为，………………………8分

∵，

，，

∴， …………………………………………10分

∴最后抢答阶段乙队得分的期望为．……………………∴，

∴支持票投给甲队．．……………………………12分

20.【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，

得，

∴=

∴，

∴a²=2b²；

将Q代入椭圆C的方程，得+=1，

解得b²=4，

∴a²=8，

∴椭圆C的方程为；

（2）当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为：或，

从而有，

所以四边形OPMN的面积为

；

当直线PN的斜率k存在时，

设直线PN方程为：y=kx+m（m≠0），P（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；

将PN的方程代入C整理得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²﹣8=0，

所以，，

，

由得：，

将M点坐标代入椭圆C方程得：m²=1+2k²；

点O到直线PN的距离为，

，

四边形OPMN的面积为

．

综上，平行四边形OPMN的面积S为定值．

21.【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx+tanx﹣2x

则，

∵，

∴cosx∈（0，1]，于是（等号当且仅当x=0时成立）．

故函数f（x）在上单调递增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在上单调递增，又f（0）=0，

∴f（x）＞0，

（ⅰ）当m≤0时，f（x）＞0≥mx²成立．

（ⅱ）当m＞0时，

令p（x）=sinx﹣x，则p'（x）=cosx﹣1，

当时，p'（x）＜0，p（x）单调递减，又p（0）=0，所以p（x）＜0，

故时，sinx＜x．（*）

由（*）式可得f（x）﹣mx²=sinx+tanx﹣2x﹣mx²＜tanx﹣x﹣mx²，

令g（x）=tanx﹣x﹣mx²，则g'（x）=tan²x﹣2mx$来&源：

由（*）式可得，

令h（x）=x﹣2mcos²x，得h（x）在上单调递增，

又h（0）＜0，，

∴存在使得h（t）=0，即x∈（0，t）时，h（x）＜0，

∴x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，

又∵g（0）=0，∴g（x）＜0，

即x∈（0，t）时，f（x）﹣mx²＜0，与f（x）＞mx²矛盾．

综上，满足条件的m的取值范围是（﹣∞，0]．

22.【解答】解：（1）由题意，消去参数t，得直线l的普通方程为，$来&源：

根据sin²θ+cos²θ=1消去参数，曲线C₁的普通方程为x²+y²=1，

联立得解得A（1，0），，

∴|AB|=1．

（2）由题意得曲线C₂的参数方程为（θ是参数），设点

∴点P到直线l的距离=，

当时，．

∴曲线C₂上的一个动点它到直线l的距离的最大值为

23.【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x﹣2|+|3x+1|，

①当x≥2时，不等式等价于x﹣2+3x+1≥5，解得，即x≥2；

②当时，不等式等价于2﹣x+3x+1≥5，解得x≥1，即1≤x＜2；

③当时，不等式等价于2﹣x﹣3x﹣1≥5，解得x≤﹣1，即x≤﹣1．

综上所述，原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1}．

（2）由f（x₀）+2|x₀﹣2|＜3，即3|x₀﹣2|+|3x₀+a|＜3，$来&源：

得|3x₀﹣6|+|3x₀+a|＜3，

又|3x₀﹣6|+|3x₀+a|≥|（3x₀﹣6）﹣（3x₀+a）|=|6+a|，

∴（f（x₀）+2|x₀﹣2|）_min＜3，即|a+6|＜3，

解得﹣9＜a＜﹣3．