贵州省遵义市第四中学2018届高三3月月考数学理

遵义四中2018届高三月考

理科数学试卷

本卷满分150分，考试时间120分钟

1. 选择题:本题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则A∩B＝（ ）

ABCD

2.复数(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　)

A．第一象限　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.已知随机变量，若，则 ( 　)

A．0.64 B．0.32 C．0.36 D．0.72

4、命题的否定是（ ）

A．B．

C．D．

5.已知，两点，直线AB的倾斜角为，则的值为（ )

A -1 B 0 C 3 D 1

6.如图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入(　　)．

1. B．C．D．

7.已知正方体的棱长为2，其俯视图是一个面积为4的正方形，侧视图是一个面积为4的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 (　　)

1. 4B． C 4 D 4
   8.将函数(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后得到函数的图象，若是偶函数，则m的最小值是（ ）
   A．B．C．D．
   9.已知点P的坐标满足不等式组则的最小值是（ ）A．B．C．D．
   10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是 (　　)
   A．d≈ B．d≈ C．d≈ D．d≈5
   11.已知，当取得最小值时，直线与曲线的交点个数为 (　　)．
   1. 2B.3C.4D.6

12.已知函数和是两个定义在区间上的函数，若对任意的，存在常数，使得，，且，则称与在区间上是“相似函数”.若与在上是“相似函数”，则函数在区间上的最大值为( )

A. 0 B. 2 C.5D.8

二、填空题.（本题共4小题，每题5分）

13.已知向量=(-1,2)，=(m,3)，若，则m=__________．

14.已知是抛物线上的动点，，若点到y轴的距离为，点到点的距离为，则的最小值是_________.

15.已知球O的半径为25，其球面上有三点,,，若，

且，则四面体的体积为_________.

16.已知函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.(本小题满分12分)

已知数列的前项和为，且满足．

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)令，记数列的前项和为．证明：．

18..(本小题满分12分)

某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．

(Ⅰ)求图中实数a，b的值；

(Ⅱ)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；

(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，记这两名学生成绩在[90,100]内的人数为X，求随机变量X的分布列和期望值．

19..(本小题满分12分)

如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，△GAD为等边三角形，BF⊥平面ABCD，∠GDC＝90°，点E是线段GC上除两端点外的一点．

(Ⅰ)若点P为线段GD的中点，证明：AP⊥平面GCD；

(Ⅱ)若二面角B－DE－C的余弦值为，试通过计算说明点E的位置．

20..(本小题满分12分)

已知⊙F₁：(x＋3)²＋y²＝27与⊙F₂：(x－3)²＋y²＝3，以F₁，F₂分别为左、右焦点的椭圆C：＋＝1 (a>b>0)经过两圆的交点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)M，N是椭圆C上的两点，若直线OM与ON的斜率之积为－，试问△OMN的面 积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

21．(本小题满分12分)

已知函数＝x²－(2a＋2)x＋(2a＋1)ln x.

(1)若曲线y＝在点处切线的斜率小于0，求的单调区间；

(2)任意的a∈，x₁，x₂∈[1,2](x₁≠x₂)，恒有，

求正数λ的取值范围．

请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分

22．(本小题满分10分)

已知曲线C的参数方程为(φ为参数)，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)已知倾斜角为135°且过点P(1,2)的直线l与曲线C交于M，N两点，求＋的值．

23.(本小题满分10分)

已知f(x)＝|x－a|，a∈R.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)＋|2x－5|≥6的解集；

(2)若函数g(x)＝f(x)－|x－3|的值域为A，且[－1,2]⊆A，求a的取值范围．

1 C 2 A 3 B 4 C 5 D 6 D 7 A 8 B 9 C 10 C 11 A 12 C

13、614、315、16、

17．解：解：（I）当时，有，解得.

当时，有，则

整理得：

数列是以为公比，以为首项的等比数列．

即数列的通项公式为：． ……………………………6分

（II）由（I）有，则

易知数列为递增数列

，即. ………………………………………12分

18．解：(Ⅰ)由直方图及题意得(10b)²＝0.05×0.20.∴b＝0.010，

∴a＝0.1－0.005－0.010－0.020－0.025－0.010＝0.030. 4分

(Ⅱ)成绩不低于80分的人数估计为640×(0.025＋0.010)×10＝224. 7分

(Ⅲ)样本中成绩在[40,50)内的人数为40×0.005×10＝2；成绩在[90,100]内的人数为40×0.010×10＝4，X的所有可能取值为0,1,2，

P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；

所以X的分布列为

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 12分

19．解：(Ⅰ)因为△GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，故AP⊥GD，

因为AD⊥CD，GD⊥CD，且AD∩GD＝D，故CD⊥平面GAD，

又AP⊂平面GAD，故CD⊥AP，

又CD∩GD＝D，故AP⊥平面GCD.4分

(Ⅱ)取AD的中点O，以OA所在直线为x轴，过O点作平行于AB的直线为y轴，OG所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD＝2，则G(0,0，)，C(－1,2,0)，故＝(－1,2，－)，

设＝λ＝(－λ，2λ，－λ)(0<λ<1)，

故E＝(－λ，2λ，－λ).5分

又B(1,2,0)，D(－1,0,0)，C(－1,2,0)，

故＝(1－λ，2λ，－λ)，＝(－2，－2,0)，

设m＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则

故

令x＝1，故y＝－1，z＝，

故m＝为平面BDE的一个法向量.9分

由(Ⅰ)可知，＝为平面DEC的一个法向量，

故|cos〈m，〉|＝，即＝，令＝t，则＝，

t²－14t＋13＝0，t＝1或13，解得λ＝或，经检验知λ＝，

此时点E为线段GC的中点. 12分

20解　(1)设两圆的交点为Q，

依题意有|QF₁|＋|QF₂|＝3＋＝4，由椭圆定义知，2a＝4，解得a²＝12.

∵F₁，F₂分别为椭圆C的左、右焦点，

∴a²－b²＝9，解得b²＝3，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)①当直线MN的斜率不存在时，

设M(x₁，y₁)，N(x₁，－y₁)．

k_OM·k_ON＝－＝－，∴＝.

又＋＝1，∴|x₁|＝，|y₁|＝.

∴S_△OMN＝××＝3.

②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

由

得(4k²＋1)x²＋8kmx＋4m²－12＝0，

由Δ＝64k²m²－4(4k²＋1)(4m²－12)>0，

得12k²－m²＋3>0，()

且x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.

∴y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)

＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝.

∵k_OM·k_ON＝＝－，∴＝－，

整理得2m²＝12k²＋3,

代入()得m≠0.

∵|MN|＝|x₁－x₂|

＝

＝ ＝，

原点O到直线MN的距离d＝，

∴S_△OMN＝|MN|d

＝··＝3 (定值)．

综上所述，△OMN的面积为定值3.

21.解(1)f′(x)＝x－(2a＋2)＋＝(x>0)，若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处切线的斜率小于0，

则f′(2)＝－a＋<0，即有a>，所以2a＋1>2>1，

则由f′(x)>0得0<x<1或x>2a＋1；

由f′(x)<0得1<x<2a＋1.

所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，(2a＋1，＋∞)，单调递减区间为(1,2a＋1)．

(2)因为a∈，所以(2a＋1)∈[4,6]，由(1)知f(x)在[1,2]上为减函数．

不妨设1≤x₁<x₂≤2，则f(x₁)>f(x₂)，>，

所以原不等式为f(x₁)－f(x₂)<λ，即f(x₁)－<f(x₂)－对任意的a∈，x₁，x₂∈[1,2]恒成立．

令g(x)＝f(x)－，所以对任意的a∈，x₁，x₂∈[1,2]有g(x₁)<g(x₂)恒成立，

所以g(x)＝f(x)－在闭区间[1,2]上为增函数，

所以g′(x)≥0对任意的a∈，x∈[1,2]恒成立．

而g′(x)＝x－(2a＋2)＋＋≥0，

化简得x³－(2a＋2)x²＋(2a＋1)x＋λ≥0，

即(2x－2x²)a＋x³－2x²＋x＋λ≥0，其中a∈.

因为x∈[1,2]，所以2x－2x²≤0，

所以只需(2x－2x²)＋x³－2x²＋x＋λ≥0，

即x³－7x²＋6x＋λ≥0对任意x∈[1,2]恒成立，

令h(x)＝x³－7x²＋6x＋λ，x∈[1,2]，

则h′(x)＝3x²－14x＋6<0恒成立，

所以h(x)＝x³－7x²＋6x＋λ在闭区间[1,2]上为减函数，

则h(x)_min＝h(2)＝λ－8.

由h(x)_min＝h(2)＝λ－8≥0，解得λ≥8.

故λ的取值范围为[8，＋∞)．

22解　(1)依题意知，曲线C的普通方程为

x²＋(y－3)²＝9，即x²＋y²－6y＝0，

故x²＋y²＝6y，故ρ²＝6ρsinθ，

故所求极坐标方程为ρ＝6sinθ.

(2)设直线l为(t为参数)，

将此参数方程代入x²＋y²－6y＝0中，

化简可得t²－2t－7＝0，显然Δ>0.

设M，N所对应的参数分别为t₁，t₂，

故

＋＝＝＝＝.

23.解　(1)当a＝1时，不等式即为|x－1|＋|2x－5|≥6.

当x≤1时，不等式可化为－(x－1)－(2x－5)≥6，

∴x≤0；

当1<x<时，不等式可化为(x－1)－(2x－5)≥6，

∴x∈∅；

当x≥时，不等式可化为(x－1)＋(2x－5)≥6，

∴x≥4.

综上所述，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．

(2)∵||x－a|－|x－3||≤ |x－a－(x－3)|＝|a－3|，

∴f(x)－|x－3|＝|x－a|－|x－3|∈[－|a－3|，|a－3|] .

∴函数g(x)的值域A＝[－|a－3|，|a－3|]．

∵[－1,2]⊆A，∴解得a≤1或a≥5.

∴a的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．