陕西省西安一中2018届高三上学期第一次考试数学（理）试卷

市一中高三第一次模拟考试数学（理）试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1.已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）²，则|z|为（　　）

A．B．1C．D．

2.若M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|y=log₂（x﹣1）}，则M∩N=（　　）

A．{x|﹣2≤x＜0}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{﹣2，0}D．{x|1＜x≤2}

3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．4+2πB．8+2πC．4+πD．8+π

4.下列命题中：

①“∃x₀∈R，x₀²﹣x₀+1≤0”的否定；

②“若x²+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；

③命题“若x²﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题；

其中真命题的个数是（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

5.设f（x）=，则f（f（2））的值为（　　）

A．0B．1C．2D．3

6.执行右上如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是（x，﹣12），则x的值为（　　）

A．27B．81C．243D．729

7.已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos²x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（　　）

A．（﹣，1）B．（﹣，1）C．（，1）D．（，0）

8.已知向量与的夹角为，||=，则在方向上的投影为（　　）

A．B．C．D．

9.已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是 （　　）

A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）

10.四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（　　）

A．10种B．14种C．20种D．24种

11.在区间[0，1]上随机选取两个数x和y，则y＞2x的概率为（　　）

A．B．C．D．

12.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，且F₂为抛物线y²=24x的焦点，设点P为两曲线的一个公共点，若△PF₁F₂的面积为36，则双曲线的方程为（　　）

A．B．C．D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.已知幂函数y=x^a的图象过点（3，9），则的展开式中x的系数为　　．

14.已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列，若a₂+a₃=8，则数列{a_n}的前n项和S_n=　　．

15.函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围为　　．

16.定积分(+x)dx的值为　　．

三、解答题（每小题12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

 17. （本小题满分12分）

在锐角△ABC中，=

（1）求角A；

（2）若a=，求bc的取值范围．

18. （本小题满分12分）

如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．

（Ⅰ）证明：AC⊥PB；

（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

19.（本小题满分12分）

甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分

（Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望

(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).

20. （本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．

（1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；

（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且=，求直线AB的斜率．

21. （本小题满分12分）

已知函数f（x）=（x²﹣x﹣1）e^x．

（1）求函数f（x）的单调区间．

（2）若方程a（+1）+ex=e^x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．

请考生从22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

22.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C₂的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C₁的极坐标方程和曲线C₂的普通方程；（2）射线θ=﹣与曲线C₁的交点为P，与曲线C₂的交点为Q，求线段PQ的长．

23. （本小题满分10分）

已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．

（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；

（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．

市一中高三第一次模拟考试

数学（理）试题

试卷答案

1.A

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．

【解答】解：（1+i）z=（1﹣i）²，∴（1﹣i）（1+i）z=﹣2i（1﹣i），2z=﹣2﹣2i，即z=1﹣i．

则|z|==．

故选：A．

【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2.D

【考点】交集及其运算．

【分析】求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．

【解答】解：由N中y=log₂（x﹣1），得到x﹣1＞0，

解得：x＞1，即N={x|x＞1}，

∵M={x|﹣2≤x≤2}，

∴M∩N={x|1＜x≤2}，

故选：D．

3.D

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．

【解答】解：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．

∴该几何体的体积V==8+．

故选：D．

4.C

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】①根据特称命题的否定是全称命题进行判断，

②根据否命题的定义进行判断，

③根据逆否命题的等价性进行判断．

【解答】解：①“∃x₀∈R，x₀²﹣x₀+1≤0”的否定是∀x∈R，x²﹣x+1＞0；∵判别式△=1﹣4=﹣3＜0，∴∀x∈R，x²﹣x+1＞0恒成立，故①正确，

②“若x²+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题是“若x²+x﹣6＜0，则x≤2”；由x²+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，则x≤2成立，故②正确，

③命题“若x²﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题为假命题．

由x²﹣5x+6=0，则x=2或3，则原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，故③错误，

故正确的命题是①②，

故选：C

5.C

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．

【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log₃（2²﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e^1﹣1=2．

【解答】解：f（f（2））=f（log₃（2²﹣1））=f（1）=2e^1﹣1=2，故选C．

6.B

【考点】程序框图．

【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并分析程序执行过程中，变量x、y值的变化规律，即可得出答案

【解答】解：由程序框图知：第一次运行x=3，y=﹣3，（3﹣3）；

第二次运行x=9，y=﹣6，（9，﹣6）；

第三次运行x=27，y=﹣9，（27，﹣9）；

第四次运行x=81，y=﹣12，（81，﹣12）；…；

所以程序运行中输出的一组数是（x，﹣12）时，x=81．

故选：B．

7.A

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】由条件利用三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．

【解答】解：∵f（x）=cos（2x﹣）+2cos²x=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，

∴将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，可得：g（x）=sin[2（x﹣）+]+1=sin2x+1，

∴令2x=kπ，k∈z，可得x=，k∈z，

∴当k=﹣1时，可得函数的图象的对称中心为（﹣，1），

故选：A．

8.C

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】根据向量的数量积定义解答．

【解答】解：因为向量与的夹角为，||=，则在方向上的投影为，||cos=﹣×=﹣；

故选C．

9.B

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1，1），得到直线y=﹣kx+z斜率的变化，从而求出k的取值范围

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．

由z=kx+y得y=﹣kx+z，即直线的截距最大，z也最大．

平移直线y﹣kx+z，要使目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1，1），

即直线y=﹣kx+z经过点A（1，1）时，截距最小，

由图象可知当阴影部分必须在直线y=﹣kx+z的右上方，

此时只要满足直线y=﹣kx+z的斜率﹣k大于直线OA的斜率即可

直线OA的斜率为1，

∴﹣k＞1，所以k＜﹣1．

故选：B

10.B

【考点】排列、组合的实际应用．

【分析】根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，按照分配在甲单位的人数分3种情况讨论：即①、甲单位1人而乙单位3人，②、甲乙单位各2人，③、甲单位3人而乙单位1人，由组合数公式求出每一种情况的分配方法数目，由分类计数原理计算可得答案．

【解答】解：根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，分3种情况讨论：

①、甲单位1人而乙单位3人，在4人中任选1个安排在甲单位，剩余3人安排在甲乙单位即可，有C₄¹=4种安排方法；

②、甲乙单位各2人，在4人中任选2个安排在甲单位，剩余2人安排在甲乙单位即可，有C₄²=6种安排方法；

③、甲单位3人而乙单位1人，在4人中任选3个安排在甲单位，剩余1人安排在甲乙单位即可，有C₄³=4种安排方法；

则一共有4+6+4=14种分配方案；

故选：B．

【点评】本题考查排列、组合的应用，注意根据题意进行分类讨论时，一定要做到不重不漏．

11.A

【考点】几何概型．

【分析】由题意，求出两个变量对应的区域面积，利用面积比求概率．

【解答】解：在区间[0，1]上随机选取两个数x和y，对应的区间为边长为1 的正方形，面积为1，在此条件下满足y＞2x的区域面积为，所以所求概率为；

故选A．

12.A

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】利用△PF₁F₂的面积为36，求出P的坐标，利用双曲线的定义，求出a，即可求出双曲线的方程．

【解答】解：由题意，F₂（6，0），

设P（m，n），则

∵△PF₁F₂的面积为36，

∴=36，∴|n|=6，

∴m=9，

取P（9，6），则2a=﹣=6，

∴a=3，b=3，

∴双曲线的方程为﹣=1，

故选A．

13.112

【考点】二项式系数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

【分析】直接利用幂函数求出a的值，然后求出二项式展开式中所求项的系数．

【解答】解：幂函数y=x^a的图象过点（3，9），

∴3^a=9，

∴a=2，

∴=（﹣）⁸的通项为T_r+1=（﹣1）^rC₈^r2^8﹣rx，

令r﹣8=1，

解得r=6，

展开式中x的系数为（﹣1）⁶C₈⁶2^8﹣6=112，

故答案为：112．

【点评】本题考查二项式定理的应用，幂函数的应用，考查计算能力．

14.n²

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组，求出a₁=1，d=2，由此能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

【解答】解：∵等差数列{a_n}的公差d≠0，

且a₁，a₃，a₁₃成等比数列， a₂+a₃=8，

∴，

解得a₁=1，d=2，

∴数列{a_n}的前n项和S_n=．

故答案为：n²．

15.（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=+a在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．

【解答】解：函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a（x＞0）．

∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，

∴方程+a=2在区间x∈（0，+∞）上有解．

即a=2﹣在区间x∈（0，+∞）上有解．

∴a＜2．

若直线2x﹣y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x₀，2x₀）．

则，解得x₀=e．

此时a=2﹣．

综上可知：实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．

故答案为：（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．

16.

【考点】定积分．

【分析】根据定积分的几何意义计算dx，利用微积分基本定理计算xdx，然后相加即可．

【解答】解：根据定积分的几何意义可知dx表示以1为半径的圆面积的，

∴dx=，

又xdx=|=，

∴（+x）dx=dx+xdx=．

故答案为：．

17.

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】（1）由余弦定理可得：a²+c²﹣b²=2accosB，代入已知整理可得sin2A=1，从而可求A的值．

（2）由（1）及正弦定理可得bc=，根据已知求得角的范围，即可求得bc的取值范围．

【解答】解：（1）由余弦定理可得：a²+c²﹣b²=2accosB，

，

∴sin2A=1且，

（2），

又，

∴b=2sinB，c=2sinC，

bc=2sin•2sinC=，

，

∴．

18.

【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接PO，BO，由等腰三角形的性质可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面POB，则AC⊥PB；

（Ⅱ）由平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，可得PO⊥平面ABC，以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，然后分别求出平面PBC与平面PAC的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值求得二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：如图，

取AC中点O，连接PO，BO，

∵PA=PC，∴PO⊥AC，

又∵底面ABC为正三角形，∴BO⊥AC，

∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，则AC⊥PB；

（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，

PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，

以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

∵AC=PC=2，∴P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，0，0），，

，

设平面PBC的一个法向量为，

由，取y=﹣1，得，

又是平面PAC的一个法向量，

∴cos＜＞=．

∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．

19.【解析】(Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且

所以ε的分布列为

ε的数学期望为

　　　　　Eε=

解法二：根据题设可知

因此ε的分布列为

（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又

由互斥事件的概率公式得

解法二：用A_k表示“甲队得k分”这一事件，用B_k表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A₃B₀,A₂B₁为互斥事件，故事件

P(AB)=P(A₃B₀∪A₂B₁)=P(A₃B₀)+P(A₂B₁).

=

20.

【考点】直线与椭圆的位置关系．

【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；

（2）方法二：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由=，则直线直线AB的斜率k==；方法二：由=，y₂=2y₁，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①

由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，，②

解得：a²=9，b²=5，

∴a=3，b=，

（2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x²+9y²=5a²，

设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），

，消去x整理得：5m²y²+9y²=5a²，

∴y²=，由y₂＞0，则y₂=，

由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，

则，整理得：（5m²+9）y²﹣10amy=0，

由y=0，或y₁=，

由=，则（x₁+a，y₁）=（x₂，y₂），

则y₂=2y₁，

则=2×，（m＞0），

解得：m=，

则直线AB的斜率=；

方法二：由（1）可知：椭圆方程5x²+9y²=5a²，则A（﹣a，0），

B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），

由=，则（x₁+a，y₁）=（x₂，y₂），则y₂=2y₁，

由B，C在椭圆上，

∴，解得：，

则直线直线AB的斜率k==．

直线AB的斜率．

21.

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）问题可化为e^x﹣ax²+（a﹣e）x=0，令g（x）=e^x﹣ax²+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可．

【解答】解：（1）f′（x）=（x²+x﹣2）e^x=（x﹣1）（x+2）e^x，

令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，

故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，1）递减，在（1，+∞）递增；

（2）方程a（+1）+ex=e^x可化为e^x﹣ax²+（a﹣e）x=0，

令g（x）=e^x﹣ax²+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，易知g（0）=1，g（1）=0，

g′（x）=e^x﹣2ax+a﹣e，设g′（x）=h（x），则h′（x）=e^x﹣2a，

①a＜0时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（0）=1+a﹣e＜0，

h（1）=﹣a＞0，即h（x）在区间（0，1）只有1个零点x₁，

故g（x）在（0，x₁）递减，在（x₁，1）递增，

而g（0）=1＞0，g（1）=0，得g（x₁）＜g（1）=0，故g（x）在（0，x₁）内存在唯一零点；

②当0≤a≤时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，

h（x）＜h（1）=﹣a≤0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）无零点；

③当＜a＜时，令h′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），

∴h（x）在区间（0，ln（2a））上递减，在（ln（2a），1）递增，

h（x）在区间（0，1）上存在最小值h（ln（2a）），

故h（ln（2a））＜h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e＜a﹣＜0，

故＜a＜时，∀x∈（0，1），都有g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，

又g（0）=1，g（1）=0，故g（x）在（0，1）内无零点；

④a≥时，h′（x）＜0，h（x）在区间（0，1）递减，h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e，

若h（0）=1+a﹣e＞0，得a＞e﹣1＞，

则h（x）在区间（0，1）只有1个零点x₂，

故g（x）在（0，x₂）递增，在（x₂，1）递减，

而g（0）=1，g（1）=0，得g（x）在（0，1）无零点，

若＜a时，则h（0）=1+a﹣e＜0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）内无零点，

综上，a＜0时，方程a（+1）+ex=e^x在（0，1）内有解．

22.

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C₁的极坐标方程和曲线C₂的普通方程；

（2）通过方程组求出P、Q坐标，然后利用两点间距离公式求解即可．

【解答】解：（1）曲线C₁的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），

普通方程为（x﹣1）²+y²=1，（y＜0），

极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈（﹣，0），曲线C₂的参数方程为（t为参数），

普通方程2x+y﹣6=0；

（2）θ=﹣，，即P（，﹣）；

θ=﹣代入曲线C₂的极坐标方程，可得ρ′=6，即Q（6，﹣），

∴|PQ|=6﹣=5．

23

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】（ I）运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）≤2，即有或或，解不等式即可得到所求解集；

（Ⅱ）由题意可得当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立．即有（x﹣2）_max≤a≤（x+2）_min．求得不等式两边的最值，即可得到a的范围．

【解答】解：（ I）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，f（x）≤2⇒|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，

上述不等式可化为或或

解得或或…

∴或或，

∴原不等式的解集为．…

（ II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含，

∴当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，…

即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|在上恒成立，

∴|x﹣a|+2x﹣1≤2x+1，

即|x﹣a|≤2，∴﹣2≤x﹣a≤2，

∴x﹣2≤a≤x+2在上恒成立，…

∴（x﹣2）_max≤a≤（x+2）_min，∴，

所以实数a的取值范围是． …