陕西省西安一中2018届高三上学期第五次考试数学理

市一中高三第五次模拟考试

数学（理）试题

命题人：孙丽荣

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．若复数满足，则复数所对应的点位于（ ）

1. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．已知集合，，且则的可取值组成的集合为（ ）

1. B.C.D.
   3．已知数列是等差数列，，则数列的前10项和为（ ）
   1. 40 B. 35 C. 20 D. 15

4．设为锐角，，，若与共线，则角( 　 )

A.B.C.D.

5．运行左下图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出的值是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. －1

6．某三棱锥的三视图如图右上所示，主视图和俯视图为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的最长的棱长为（ ）

A.B.C.D.

7．已知函数，则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　　)

A.B.C.D.

8．下列命题正确的是（ ）

A. 若一直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行

B. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

C. 若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行

D. 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行

9．函数在的图象大致为（ ）

A.B.C.D.

10．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（ ）

A.B.C.D.

11．的展开式中，的系数是，则的系数是（ ）

A.B．C．D．

12．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 （ ）

A．240种B．192种C．96种D．48种

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知，则函数的单调递减区间是______.

14．已知，则=______

15．三棱锥的外接球为球，球的直径是，且都是边长为的等边三角形，则三棱锥的体积是 ______

16．设动点满足，则的最小值是______

三、解答题（每小题12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）△的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，求△面积的最大值．

18. （本小题满分12分）

如图，边长为3的正方形所在平面与等腰

直角三角形所在平面互相垂直，，且，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）

已知数列中，，

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）设数列满足：，求的前项和.

20. （本小题满分12分）

一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.

（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在（元）段应抽出的人数；

（2）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，4表示收入在（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在（元）的概率.

21. （本小题满分12分）

已知，是的导函数．

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．

请考生从22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

22.（本小题满分10分）

选修4-5：不等式选讲

设函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.

23. （本小题满分10分）

  选修44：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为.

(Ⅰ)求圆C的普通方程和直线的直角坐标方程；

(Ⅱ)点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最大值.

市一中高三第五次模拟考试

数学（理）试题

试卷答案

1【答案】B【解析】，对应点在第二象限.

2．D【解析】因为，则可得：

当时，,当时 

当时，,综合可得：;选D

点晴：本题考查的是根据集合及集合间的关系求参数的取值问题. 因为，则可得：,分，和三种情况讨论，分别得的取值，再取并集即可，此类题比较基础，但容易丢掉这一种情况，计算的时候要小心，不能马虎大意.

3．A【解析】是等差数列，，，故选A．

4．B【解析】因为与共线，所以，又因为为锐角，所以角。

本题选择B选项.

5．C【解析】试题分析：因为，，所以，由算法框图可知，运行后输出的值为．

6．A【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面是底边为1，高为1的三角形，高，最长的棱所在的面是直角边长分别为1，的直角三角形，斜边长为，故选A.点睛：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，考查了学生的空间想象能力解决本题的关键是得到该几何体的形状，难度一般；由已知中的三视力可得该几何体是一个以左视图为底面的三棱锥，可得

7．D【解析】，因此当时；当时；所以选D.

8．B【解析】对于答案A，这两个平面可以相交，因此答案不正确；对于答案C，这两个平面也可以相交，因此答案也不正确；对于答案D，这两条直线也可以相交或异面，因此答案也不正确；

9.【答案】C【解析】当时，，令，即在区间只有一个零点，故应排除答案A、B、D，应选答案C 。

10．A

11．A【解析】，令

则，再令

12．Ｂ【解析】本题考查排列与组合

甲必须站在正中间，只有种站法；乙、丙两位同学要站在一起有种方法；

将乙、丙两位同学排在第一、二位，其余人全排列有种方法；

将乙、丙两位同学排在第二、三位，其余人全排列有种方法；

将乙、丙两位同学排在第三、四位，其余人全排列有种方法；

将乙、丙两位同学排在第四、五位，其余人全排列有种方法；

所以满足条件的排法总数为故正确答案为

13．【解析】试题分析：∵，∴，解得：，故，令，令，解得：，而在对称轴，故在递增，故在递减，故答案为:.

14．【解析】试题分析：本题考查了三姊妹关系，，，三者密切相关，可知一求二.试题解析：，由,于是得

.

15．【解析】试题分析：取BC中点M ，则有,所以三棱锥的体积是，

16．-4【解析】试题分析：根据线性约束条件，画出可行域（如图）及直线，平移直线可知，当直线经过点A（0,4）时，取得最小值－4，

考点：简单线性规划的应用

17（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）由已正弦定理得：；（2）由余弦定理得

整理得，再由面积的最大值为．

试题解析：（1）由已知及正弦定理得：，

∵，

∴，即，

∵为三角形的内角，∴．

（2）,

由已知及余弦定理得，即，代入，

整理得，当且仅当时，等号成立，

则面积的最大值为．

18．（Ⅰ）略； （Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）过作交于，连接，先证明四边形为平行四边形，可得，从而根据线面平行的判定定理可得结论；（Ⅱ）以为坐标原点，所在方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，则平面的法向量为，再算出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）过作交于，连接因为，，所以

又，所以故，

所以四边形为平行四边形，故，

而平面，平面，

所以平面；

（Ⅱ）以为坐标原点，所在方向为轴正方向，建立平面

直角坐标系，则，，，

平面的法向量为，设平面的法向量为

，则，即

，不妨设，则

所求二面角的大小为

19．（1）数列是首项为1，公差为3的等差数列（2）（3）

【解析】试题分析: (1)把两边同时做倒数运算,得,即证.(2)由(1)(3)由(2)得,代入,利用错位相减法,可求和.

试题解析：（1），，

又数列是首项为1，公差为3的等差数列。

（2）

（3）

…

…

…

20．（1）20；（2）

【解析】

试题分析：（1）观察频率分布直方图，然后根据频率为相应小矩形的面积，即可求出所求;（2）观察上述随机数可得，该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）元的个数，然后根据古典概型的概率公式解之．

试题解析：（1）由频率分布直方图知：月收入在的概率为：0.0004*500=0.2

所以，月收入在的人数为：100* 0.2=20.

（2）由频率分布直方图可知，月收入在[2000，3000）的频率为2×0.0005×500=0.5

可以用数字0，1，2，3，4表示收入在[2000，3000）（元）的居民，数字5，6，7，8，9表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；

观察上述随机数可得，该社区3个居民中恰有2个月在[2000，3000）的有191，271，932，812，393，027，730，共有7个,

而基本事件一共有20个，根据古典概型公式可知该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）元的概率为为

考点：频率分布直方图，古典概型的概

21．（1）当时，有极小值.（2）

【解析】试题分析：(1) 求出，得增区间，得减区间，再分类讨论得到的零点个数；（2）设，求的最最值，再转化为在上恒成立，求其最值，即可使其小于或等于零构造不等式即可.

试题解析：（Ⅰ），，，

当时，恒成立，无极值；

当时，，即，

由，得；由，得，

所以当时，有极小值.

（Ⅱ），即，即，

令，则，

当时，由知，∴，原不等式成立，

当时，，即，，得；，得，

所以在上单调递减，

又∵，∴不合题意，

综上，的取值范围为．

22．（1）{或}（2）

【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为只需[f（x）]_min≤|3m﹣2|即可，得到关于m的不等式，解出即可．

试题解析：

解：（1）

或或

或或

或或

故所求不等式的解集为{或}

（2）关于的不等式有解

只需即可，

又，

，即或，

故所求实数的取值范围是.

点睛：1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．

2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)_max＜a.f(x)>a恒成立⇔f(x)_min＞a.

23．(Ⅰ),; (Ⅱ) .

【解析】试题分析：(Ⅰ) 利用将圆C的参数方程化为普通方程，由，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)写出点P的坐标，由点到直线的距离求出P点到直线的距离，求出最大值，从而得到面积的最大值.

试题解析：(Ⅰ)由得消去参数t，得，

所以圆C的普通方程为．

由，得，

即，化成直角坐标系为，所以直线l的直角坐标方程为

(Ⅱ)化为直角坐标为在直线l上，并且，…7分

设P点的坐标为，

则P点到直线l的距离为，

，

所以面积的最大值是