2019学年河北省衡水中学高三（上）二调数学试卷（理科） (1).docx

2018-2019学年河北省衡水中学高三（上）二调数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的）

1．（5分）设集合，集合，则　　

A．B．C．D．

2．（5分）已知，则　　

A．B．C．D．

3．（5分）等差数列的前项和为，若，，则　　

A．152B．154C．156D．158

4．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点　　

A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度

C．向右平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度

5．（5分）若关于的方程有解，则实数的最小值为　　

A．4B．6C．8D．2

6．（5分）已知数列的前项和为，，，且对于任意，，满足，则的值为　　

A．90B．91C．96D．100

7．（5分）已知函数在区间上是增函数，且在区间，上恰好取得一次最大值，则的取值范围为　　

A．，B．，C．D．，

8．（5分）已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则；21的因数有1，3，7，21，则，那么的值为　　

A．2488B．2495C．2498D．2500

9．（5分）如图，半径为2的切直线于点，射线从出发绕点逆时针方向旋转到，旋转过程中，交于点，设为，弓形的面积为，那么的图象大致是　　

A．B．

C．D．

10．（5分）已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数　　

A．B．C．D．

11．（5分）已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，，，则　　

A．B．C．D．

12．（5分）已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是　　

A．当时，有3个零点；当时，有4个零点

B．当时，有4个零点；当时，有3个零点

C．无论为何值，均有3个零点

D．无论为何值，均有4个零点

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知函数，在区间，上的单调函数，其中是直线的倾斜角，则的所有可能取值区间为　 　．

14．（5分）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设为常数），则　　（用表示）．

15．（5分）设锐角三个内角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围为　 　．

16．（5分）若存在两个正实数，使等式成立，（其中则实数的取值范围是　　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）在中，，点在边上，，且．

（Ⅰ）若的面积为，求；

（Ⅱ）若，求．

18．（12分）已知是各项都为正数的数列，其前项和为．且为与的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的前项和．

19．（12分）设函数．

（Ⅰ）求的单调增区间；

（Ⅱ）已知的内角分别为，，，若，且能够盖住的最大圆面积为，求的最大值．

20．（12分）已知数列满足：，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，试比较与的大小．

21．（12分）已知函数．

（Ⅰ）求在，1的最值；

（Ⅱ）若，当有两个极值点，时，总有，求此时实数的值．

22．（12分）已知函数．

（1）当时，若函数恰有一个零点，求的取值范围；

（2）当时，恒成立，求的取值范围．

2018-2019学年河北省衡水中学高三（上）二调数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的）

1．（5分）设集合，集合，则　　

A．B．C．D．

【考点】：交集及其运算

【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合

【分析】分别求出集合，集合，由此能求出．

【解答】解：集合，

集合，

．

故选：．

【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．（5分）已知，则　　

A．B．C．D．

【考点】：两角和与差的三角函数

【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；56：三角函数的求值

【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦函数求解即可．

【解答】解：，

．

故选：．

【点评】本题考查诱导公式以及二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力．

3．（5分）等差数列的前项和为，若，，则　　

A．152B．154C．156D．158

【考点】85：等差数列的前项和

【专题】11：计算题；38：对应思想；：转化法；54：等差数列与等比数列

【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式即可得出．

【解答】解：设公差为，由，，可得，解出，．

．

故选：．

【点评】熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式是解题的关键．

4．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点　　

A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度

C．向右平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度

【考点】：函数的图象变换

【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值

【分析】由题意利用诱导公式，函数的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，

可得的图象，

故选：．

【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，属于基础题．

5．（5分）若关于的方程有解，则实数的最小值为　　

A．4B．6C．8D．2

【考点】53：函数的零点与方程根的关系

【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用

【分析】利用指对互化公式得出关于的不等式，利用基本不等式得出的最值．

【解答】解：，

，

当且仅当即时取等号．

故选：．

【点评】本题考查了函数的最值计算，基本不等式的应用，属于中档题．

6．（5分）已知数列的前项和为，，，且对于任意，，满足，则的值为　　

A．90B．91C．96D．100

【考点】：数列的求和；：数列递推式

【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列

【分析】对于任意，，满足，可得，可得．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．

【解答】解：对于任意，，满足，

，

．

数列在时是等差数列，公差为2．

则．

故选：．

【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．（5分）已知函数在区间上是增函数，且在区间，上恰好取得一次最大值，则的取值范围为　　

A．，B．，C．D．，

【考点】中参数的物理意义

【专题】33：函数思想；：转化法；57：三角函数的图象与性质

【分析】化函数为正弦型函数，根据题意，利用正弦函数的图象与性质求得的取值范围．

【解答】解：函数，

则在，上是含原点的递增区间；

又在，上单调递增，

则，，，

得不等式组，

又，

解得；

又函数在区间，上恰好取得一次最大值，

根据正弦函数的性质可知，，

即函数在处取得最大值，可得，

，

综上所述，可得，．

故选：．

【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质应用问题，也考查了有关三角函数的灵活应用问题，是中档题．

8．（5分）已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则；21的因数有1，3，7，21，则，那么的值为　　

A．2488B．2495C．2498D．2500

【考点】：进行简单的合情推理

【专题】23：新定义；38：对应思想；：归纳法；54：等差数列与等比数列

【分析】根据题意求出的值，，52，，100；

再分析规律，从而求得它们的和．

【解答】解：表示正整数的所有因数中最大的奇数，

，且为奇数时，，其中，；

，；

．

故选：．

【点评】本题考查了新定义的计算求和问题，是中档题．

9．（5分）如图，半径为2的切直线于点，射线从出发绕点逆时针方向旋转到，旋转过程中，交于点，设为，弓形的面积为，那么的图象大致是　　

A．B．

C．D．

【考点】：函数的图象与图象的变换

【专题】13：作图题

【分析】由已知中半径为2的〇切直线于点，射线从出发绕点逆时针方向旋转到，旋转过程中，交〇于点，设为，弓形的面积为，我们可求出函数的解析式，分析其单调性和凸凹性后，比照四个答案中的图象可得答案．

【解答】解：由已知中径为2的〇切直线于点，

射线从出发绕点逆时针方向旋转到，

旋转过程中，弓形的面积（2）（2）

恒成立，故为增函数，四个图象均满足

又在，时，，故函数为凹函数，

在，时，，故函数为凸函数，

此时图象满足要求．

故选：．

【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据实际情况，分析出函数值在不同情况下，函数的单调性和凸凹性，进而分析出函数值随自变量变化的趋势及变化的快慢，是解答本题的关键．

10．（5分）已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数　　

A．B．C．D．

【考点】：三角函数的周期性

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用

【分析】利用导数研究函数的最值，画出，的图象，利用与的图象有两个公共点，建立条件关系，结合周期公式和最值点，即可得到结论．

【解答】解：函数与

有两个公共点，

定义域为，

①当时，，

，

令，解得，

由，则，

由，则，

则当时，取得最小值，最小值为（1）．

②当时，，

则，

令，解得，

由，则，

由，则，

则当时，函数取最小值，最小值为．

综合①②所述：的最小值为（1），

函数与只有2个公共点，

最大值为1．

则最长周期为，即，即，

则（1），

即，即，．

则周期最大的，，

故选：．

【点评】本题主要考查函数图象的应用，根据导数研究函数的最值是解决本题的关键，综合性较强，属于中档题．

11．（5分）已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，，，则　　

A．B．C．D．

【考点】：奇偶性与单调性的综合

【专题】11：计算题；33：函数思想；：演绎法；51：函数的性质及应用

【分析】由题意首先构造新函数并确定单调性，然后结合函数的奇偶性和函数的单调性整理计算即可求得最终结果．

【解答】解：不妨设：，由题意可得：

，

同理，当时有，

据此可得函数在区间上单调递减，且函数是偶函数，

因此，

，

，

即，

故选：．

【点评】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．

12．（5分）已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是　　

A．当时，有3个零点；当时，有4个零点

B．当时，有4个零点；当时，有3个零点

C．无论为何值，均有3个零点

D．无论为何值，均有4个零点

【考点】52：函数零点的判定定理

【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用

【分析】函数的零点个数即方程的解的个数，从而解方程可得．

【解答】解：令得，

或

解得，或；

由得，

或；

即或；

由得，

或；

即，（无解）或；

综上所述，或或；

故无论为何值，均有3个解；

故选：．

【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知函数，在区间，上的单调函数，其中是直线的倾斜角，则的所有可能取值区间为　，，　．

【考点】：利用导数研究函数的单调性

【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用

【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于的不等式，结合的范围，求出的范围即可．

【解答】解：求导，，

在区间，上是单调函数，

则有在，恒大于等于0或恒小于等于0，

若在区间，上单调减，则，

（1）故即，

若在区间，上单调增，则，

，

所以即，

综上所述，，，，

故答案为：，，．

【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．

14．（5分）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设为常数），则　　（用表示）．

【考点】：数列的求和

【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列

【分析】直接利用题中的信息，进一步求出关系式，再求出结果．

【解答】解：斐波那契数列满足：，，，设

则：，

，

，

，

．

故答案为：

【点评】本题考查的知识要点：信息题在数列中的应用．

15．（5分）设锐角三个内角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围为　，　．

【考点】：余弦定理

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形

【分析】先利用正弦定理把已知等式中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，进而可求，结合已知可求的范围，可求的范围，利用正弦定理即可解得的取值范围．

【解答】解：，

由正弦定理可得：，

，

，

解得：，

由为锐角，可得，

又在锐角中，有，可得：，可得，

，，

，

由正弦定理可得：，．

故答案为：，．

【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了学生运用所学知识解决问题的能力，属于基础题．

16．（5分）若存在两个正实数，使等式成立，（其中则实数的取值范围是　，　．

【考点】：利用导数研究函数的最值

【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用

【分析】求出，设，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的范围即可．

【解答】解：，

，

设，设，

那么，恒成立，

所以是单调递减函数，

当时，（e），当时，，函数单调递增，

当，，函数单调递减，

所以在时，取得最大值，

（e），即，解得：或，

故答案为：，．

【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）在中，，点在边上，，且．

（Ⅰ）若的面积为，求；

（Ⅱ）若，求．

【考点】：三角形中的几何计算

【专题】35：转化思想；57：三角函数的图象与性质；58：解三角形

【分析】（Ⅰ）直接利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果．

（Ⅱ）进一步利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）因为，

所以：，

解得：，

所以：在中，

利用余弦定理：，

解得．

（Ⅱ）在中，，可设，则，

又，由正弦定理，有，

所以．

在中，，

由正弦定理得，，

即，

化简得，

于是．

因为，

所以，

所以或，

解得，

故．

【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理得应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．

18．（12分）已知是各项都为正数的数列，其前项和为．且为与的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的前项和．

【考点】：数列的求和；：数列递推式

【专题】11：计算题；32：分类讨论；：归纳法；54：等差数列与等比数列

【分析】（1）通过计算出数列的前几项，进而猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可；

（2）通过（1）分母有理化可知，进而分为奇数、偶数两种情况讨论即可．

【解答】解：（1）为与的等差中项，

，

当时，易知，

当时，，

整理得：，

解得：或（舍，

当时，，

整理得：，

解得：或（舍，

猜想：．

下面用数学归纳法来证明：

①当时，结论显然成立；

②假设当时成立，即，

则，即，

整理得：，

解得：或（舍，

即当时结论也成立；

由①②可知．

（2）由（1）可知，

当为奇数时，

，

当为偶数时，

，

综上所述，．

【点评】本题考查数列的通项及前项和，考查数学归纳法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

19．（12分）设函数．

（Ⅰ）求的单调增区间；

（Ⅱ）已知的内角分别为，，，若，且能够盖住的最大圆面积为，求的最大值．

【考点】：正弦函数的单调性

【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值

【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得的单调增区间．

（Ⅱ）由题意可得的内切圆的半径为1，为等腰三角形，底边上的高为3，求得腰的值，可得的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）函数

，

令，求得，可得函数的增区间为，，．

（Ⅱ）中，，，，

且能够盖住的最大圆面积为，即的内切圆的面积为，

的内切圆半径为1，则，要使最大，为等腰三角形，

此等腰三角形的底边上的高为3，腰，

，故要求的最大值为6．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦定理、余弦定理以及基本不等数的应用，属于中档题．

20．（12分）已知数列满足：，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，试比较与的大小．

【考点】：数列的求和；：数列递推式

【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列

【分析】（Ⅰ）直接利用利用递推关系式求数列的通项公式．

（Ⅱ）首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．

【解答】解：数列满足，．

时，，

相减可得：，．

时，． 综上可得：．

证明：，

，

时，．

，

．

【点评】本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，裂项相消法在数列求和中的应用．

21．（12分）已知函数．

（Ⅰ）求在，1的最值；

（Ⅱ）若，当有两个极值点，时，总有，求此时实数的值．

【考点】：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究函数的最值

【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用

【分析】（Ⅰ）函数的定义域为，在，上恒成立．在，上单调递增，即可求解．

（Ⅱ）有两个极值点，时，可得，，且

当时，．当时，，当时，，即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为，

，

在，上单调递增，当时，，

，在，上恒成立．

在，上单调递增，

，（1），

（Ⅱ），，

有两个极值点，时．△，即，

，即

，

，

当时，．

当时，，

显然函数在递增，

，

当时，，显然函数在递增，

，

综上所述，．

【点评】本题考查了利用导数求解函数的最值、极值，考查了分类讨论思想、转化思想，属于难题．

22．（12分）已知函数．

（1）当时，若函数恰有一个零点，求的取值范围；

（2）当时，恒成立，求的取值范围．

【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值；：利用导数研究曲线上某点切线方程

【专题】32：分类讨论；：构造法；53：导数的综合应用

【分析】（1）求得的定义域，求得的导数，讨论的符号，运用函数的单调性，即可得到零点个数为1的的范围；

（2）令，根据题意，当时，恒成立，求出的导数，判断的单调性，由恒成立思想可得的范围．

【解答】解：（1）函数的定义域为，

当时，，

所以，

①当时，，时无零点；

②当时，，所以在上单调递增，

取，则，

因为（1），所以（1），此时函数恰有一个零点；

③当时，令，解得，

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增．

要使函数有一个零点，则，即，

综上所述，若函数恰有一个零点，则或；

（2）令，

根据题意，当时，恒成立，

又，

①若，则时，恒成立，

所以在上是增函数，且，所以不符题意．

②若，则时，恒成立，

所以在上是增函数，

且（1），，所以不符题意．

③若，则时，恒有，

故在上是减函数，

于是“对任意，都成立”的充要条件是

（1），即，解得，

故．

综上，的取值范围是，．

【点评】本题考查函数的零点个数的解法，注意运用分类讨论和导数判断单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用构造函数法和分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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日期：2019/4/4 19:49:03；用户：tp；邮箱：lsgjgz137@xyh.com；学号：21474120