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2019学年湖南师大附中高三（上）7月摸底数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设全集，2，3，4，，，3，，，，则　　

A．B．，C．，D．，4，

2．（5分）复数与复数互为共轭复数（其中为虚数单位），则　　

A．B．C．D．

3．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为　　

A．B．C．D．

4．（5分）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，，则角等于　　

A．B．C．或D．以上都不对

5．（5分）要得到函数的图象，只要将函数的图象　　

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向右平移个单位

6．（5分）设，，，则下列关系中正确的是　　

A．B．C．D．

7．（5分）函数的图象大致为　　

A．B．

C．D．

8．（5分）运行图所示的程度框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是　　

A．B．C．D．

9．（5分）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，则异面直线和所成的角的余弦值大小为　　

A．B．C．D．

10．（5分）如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为　　

A．B．C．D．

11．（5分）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，，则双曲线的离心率为　　

A．B．C．D．

12．（5分）设是函数定义域内的一个子区间，若存在，使，则称是的一个“开心点”，也称在区间上存在开心点．若函数在区间，上存在开心点，则实数的取值范围是　　

A．B．，C．，D．，

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．（5分）已知向量，向量，若，则　 　．

14．（5分）若，则的值为　 　．

15．（5分）点到直线的距离等于4，且在表示的平面区域内，则的值为　 　．

16．（5分）已知直线经过点，且被圆截得的弦长为8，则直线的方程是　 　．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）数列的前项和记为，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求．

18．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．

（Ⅰ）求分数在，的频率及全班人数；

（Ⅱ）求分数在，之间的频数，并计算频率分布直方图中，间矩形的高；

（Ⅲ）若要从分数在，之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在，之间的概率．

19．（12分）如图，在三棱锥中，，，，，平面平面，为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离．

20．（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在点，使为定值？若存在，试求出点的坐标和定值，若不存在，说明理由．

21．（12分）已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当，时，证明：（其中为自然对数的底数）．

请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线上的任意一点到曲线的最小距离，并求出此时点的坐标．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数．

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．

2017-2018学年湖南师大附中高三（上）7月摸底数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设全集，2，3，4，，，3，，，，则　　

A．B．，C．，D．，4，

【考点】：交、并、补集的混合运算

【专题】38：对应思想；：定义法；：集合

【分析】根据补集与并集的定义，进行运算即可．

【解答】解：全集，2，3，4，，，3，，

，；

又，，

，4，．

故选：．

【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．

2．（5分）复数与复数互为共轭复数（其中为虚数单位），则　　

A．B．C．D．

【考点】：虚数单位、复数

【专题】11：计算题；38：对应思想；：数系的扩充和复数

【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

【解答】解：，

又复数与复数互为共轭复数，

．

故选：．

【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

3．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为　　

A．B．C．D．

【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率

【专题】11：计算题；36：整体思想；：定义法；：概率与统计

【分析】根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为，，，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为，，，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案

【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为，，，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为，，，

从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为，，，，，，，，，

根据题设其中，，是胜局共三种可能，

则田忌获胜的概率为，

故选：．

【点评】本题考查等可能事件的概率，涉及用列举法列举基本事件，注意按一定的顺序，做到不重不漏．

4．（5分）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，，则角等于　　

A．B．C．或D．以上都不对

【考点】：正弦定理

【专题】34：方程思想；35：转化思想；58：解三角形

【分析】利用正弦定理、三角形边角大小关系即可得出．

【解答】解：由正弦定理可得：，解得．

，，因此为锐角．

．

故选：．

【点评】本题考查了正弦定理、三角形边角大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5．（5分）要得到函数的图象，只要将函数的图象　　

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向右平移个单位

【考点】：函数的图象变换

【专题】57：三角函数的图象与性质

【分析】根据函数的图象变换规律得出结论．

【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，

故选：．

【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，属于中档题．

6．（5分）设，，，则下列关系中正确的是　　

A．B．C．D．

【考点】：对数值大小的比较

【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用

【分析】利用对数函数和指数函数的性质分别比较三个数与0或1的大小得答案．

【解答】解：，

，

，

．

故选：．

【点评】本题考查对数值的大小比较，考查指数函数与对数函数的性质，是基础题．

7．（5分）函数的图象大致为　　

A．B．

C．D．

【考点】：函数的图象与图象的变换

【专题】38：对应思想；：试验法；51：函数的性质及应用

【分析】利用特殊值法排除，选项，再根据单调性得出选项．

【解答】解：，

排除，；

，

显然在上，，

函数为递增，

故选：．

【点评】考查了抽象函数图象问题，可选用排除法和局部单调性法得出选项．对选择题的图象问题特殊法的应用，应熟练掌握．

8．（5分）运行图所示的程度框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是　　

A．B．C．D．

【考点】：程序框图

【专题】21：阅读型

【分析】本题根据当型循环结构输出的结果求判断框中的条件，由框图知算法执行的是求的和，列项求和后，求出对应的值．

【解答】解：由分析知，算法是求的和，由数列中的拆项求和得，，

由，得，从判断框下面的执行框看，还是要执行的，时结束循环，输出．

故选：．

【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等，解决本题的关键是思考的范围．

9．（5分）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，则异面直线和所成的角的余弦值大小为　　

A．B．C．D．

【考点】：异面直线及其所成的角

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离

【分析】以为原点，在平面内过作的垂线为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线和所成的角的余弦值大小．

【解答】解：以为原点，在平面内过作的垂线为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，

设正三棱柱的各条棱长为2，

则，0，，，1，，，0，，，2，，

，，2，，

设异面直线和所成的角的余弦值为，

则．

异面直线和所成的角的余弦值大小为．

故选：．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

10．（5分）如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为　　

A．B．C．D．

【考点】：由三视图求面积、体积

【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离

【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，其中侧面底面，在平面内，过点作，垂足为，连接，．进而得出．

【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，

其中侧面底面，在平面内，过点作，垂足为，连接，．

该几何体的表面积

．

故选：．

【点评】本题考查了三棱锥是三视图、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

11．（5分）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，，则双曲线的离心率为　　

A．B．C．D．

【考点】：双曲线的性质

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】利用抛物线的焦点坐标，准线方程及点坐标，即可求得的值，根据勾股定理即可求得的值，代入渐近线方程，求得与的关系，求得双曲线的离心率公式．

【解答】解：由题意可知：抛物线焦点坐标，，准线方程，

由在抛物线的准线上，则，则，则焦点坐标为，

，则，解得：，

双曲线的渐近线方程，将代入渐近线方程，，

即，

则双曲线的离心率，

故选：．

【点评】本题考查双曲线及抛物线的简单几何性质，考查勾股定理的应用，考查计算能力，属于中档题．

12．（5分）设是函数定义域内的一个子区间，若存在，使，则称是的一个“开心点”，也称在区间上存在开心点．若函数在区间，上存在开心点，则实数的取值范围是　　

A．B．，C．，D．，

【考点】：命题的真假判断与应用

【专题】11：计算题；23：新定义；51：函数的性质及应用

【分析】根据“在区间上有开心点”当且仅当“在区间上有零点”，依题意，存在，，使，将分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围，即可求出的范围．

【解答】解：依题意，存在，，使，

解得，

由，求出，上的，此时；

当时，；时，，

故实数的取值范围是，．

故选：．

【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点和利用导数研究最值等有关知识，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．（5分）已知向量，向量，若，则　　．

【考点】96：平行向量（共线）

【专题】11：计算题；35：转化思想；：平面向量及应用

【分析】直接利用向量共线的充要条件，列出方程化简求解即可．

【解答】解：因为向量，向量，所以，又，所以，解得，所以．

故答案为：．

【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．

14．（5分）若，则的值为　　．

【考点】：三角函数的恒等变换及化简求值；：二倍角的三角函数

【专题】11：计算题

【分析】利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为，再利用诱导公式化为，将条件代入运算求得结果．

【解答】解：

，

故答案为：．

【点评】本题考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，把要求的式子化为，是解题的

关键．

15．（5分）点到直线的距离等于4，且在表示的平面区域内，则的值为　　．

【考点】：二元一次不等式（组与平面区域

【专题】35：转化思想；：定义法；：直线与圆

【分析】根据题意得出，求出的值即可．

【解答】解：由题意得，

化简得，

解得

即．

故答案为：．

【点评】本题考查了点到直线的距离以及不等式表示平面区域的应用问题，是基础题．

16．（5分）已知直线经过点，且被圆截得的弦长为8，则直线的方程是　和　．

【考点】：直线与圆相交的性质

【专题】11：计算题

【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可．

【解答】解：圆心，半径，弦长，

设弦心距是，

则由勾股定理，

，

若斜率不存在，直线是，

圆心和它的距离是，符合题意，

若斜率存在，设直线方程，

即，

则，

即，

解得，所以所求直线方程为和，

故答案为：和．

【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查圆心到直线的距离公式的应用，注意直线的斜率不存在的情况，容易疏忽，产生错误．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）数列的前项和记为，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求．

【考点】：数列的求和；：数列递推式

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列

【分析】（Ⅰ）利用已知条件推出数列是等比数列，然后求的通项公式；

（Ⅱ）利用的等比数列求和公式求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）由可得，2分

两式相减得，分

又，，6分

故是首项为1，公比为3的等比数列，分

（Ⅱ）是首项为1，公比为3的等比数列，分．

【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，考查计算能力．

18．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．

（Ⅰ）求分数在，的频率及全班人数；

（Ⅱ）求分数在，之间的频数，并计算频率分布直方图中，间矩形的高；

（Ⅲ）若要从分数在，之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在，之间的概率．

【考点】：频率分布直方图；：茎叶图；：古典概型及其概率计算公式

【专题】：概率与统计

【分析】（Ⅰ）先由频率分布直方图求出，的频率，结合茎叶图中得分在，的人数即可求得本次考试的总人数；

（Ⅱ）根据茎叶图的数据，利用（Ⅰ）中的总人数减去，外的人数，即可得到，内的人数，从而可计算频率分布直方图中，间矩形的高；

（Ⅲ）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）分数在，的频率为，

由茎叶图知：

分数在，之间的频数为2，

全班人数为．

（Ⅱ）分数在，之间的频数为；

频率分布直方图中，间的矩形的高为．

（Ⅲ）将，之间的3个分数编号为，，，，之间的2个分数编号为，，

在，之间的试卷中任取两份的基本事件为：

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10个，

其中，至少有一个在，之间的基本事件有7个，

故至少有一份分数在，之间的概率是．

【点评】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题．

19．（12分）如图，在三棱锥中，，，，，平面平面，为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离．

【考点】：直线与平面垂直；：点、线、面间的距离计算

【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；：空间位置关系与距离

【分析】（Ⅰ）求出，利用勾股定理证明，然后证明平面．

（Ⅱ）取中点，连接，，，，说明平面．求出，设点到平面的距离为，由，求解点到平面的距离．

【解答】解：（Ⅰ）证明：且，

，又，

满足，分

平面平面，平面，平面平面，

平面分

（Ⅱ）取中点，连接，，，

在中，且，又平面平面，

平面．

在中，且，

由（Ⅰ）知平面，则平面，又平面，

，即，8分

在中，，，，

分

设点到平面的距离为，则由，

得，

解得，点到平面的距离为分．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

20．（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在点，使为定值？若存在，试求出点的坐标和定值，若不存在，说明理由．

【考点】：椭圆的标准方程；：直线与圆锥曲线的综合

【专题】34：方程思想；：平面向量及应用；：直线与圆；：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】（1）求得圆的方程，由直线和圆相切的条件：，可得的值，再由离心率公式，可得的值，结合，，的关系，可得，由此能求出椭圆的方程；

（2）由直线和椭圆方程，得，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在轴上存在点，使为定值，定点为，．

【解答】解：（1）由离心率为，得，

即，①

又以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆为，

且与直线相切，

所以，代入①得，

所以．

所以椭圆的标准方程为．

（2）由，可得，

△，即为恒成立．

设，，，，

所以，，

根据题意，假设轴上存在定点，

使得为定值，

则有，，

，

要使上式为定值，即与无关，则应，

即，此时为定值，定点为．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．

21．（12分）已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当，时，证明：（其中为自然对数的底数）．

【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值

【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）法一：问题转化为证明，设，问题转化为证明，，根据函数的单调性证明即可；

法二：问题转化为证明，令，根据函数的单调性证明即可．

【解答】解：（Ⅰ）当时，（1分）

讨论：当时，，，

此时函数的单调递减区间为，无单调递增区间（2分）

当时，令或

①当，，此时

此时函数单调递增区间为，无单调递减区间（3分）

②当，即时，此时在和上函数，

在上函数，此时函数单调递增区间为和；

单调递减区间为（4分）

③当，即时，此时函数单调递增区间为和；

单调递减区间为（6分）

（Ⅱ）证明：（法一）当时

只需证明：设

问题转化为证明，

令，，

为上的增函数，且，（1）（8分）

存在惟一的，使得，，

在上递减，在，上递增（10分）

，

不等式得证（12分）

（法二）先证：

令，

在上单调递减，在上单调递增，

（1），（1）（8分）

，

（10分），

，

故，证毕（12分）

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题．

请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线上的任意一点到曲线的最小距离，并求出此时点的坐标．

【考点】：简单曲线的极坐标方程；：参数方程化成普通方程

【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：坐标系和参数方程

【分析】（Ⅰ）曲线的参数方程消去参数，能求出的普通方程，曲线的极坐标方程化为，由此能求出的直角坐标方程．

（Ⅱ）设曲线上的任意一点，，求出到的距离，由此能求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）曲线的参数方程为是参数），

消去参数，得的普通方程为，（1分）

曲线的极坐标方程为，即，

的直角坐标方程为．（5分）

（Ⅱ）设曲线上的任意一点，，

则到的距离，

当，

即时，取最小值，

此时点坐标为，．（10分）．

【点评】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查点到曲线的最小距离及相应的点的坐标的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数．

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．

【考点】：绝对值不等式的解法

【专题】33：函数思想；：转化法；59：不等式的解法及应用

【分析】（1）通过讨论的范围，求得．再根据不等式的解集为，可得，从而求得实数的值．

（2）在（1）的条件下，，即，即．求得的最小值为2，可得的范围．

【解答】解：（1）函数，

故不等式，

即，

求得．

再根据不等式的解集为，

可得，

实数．

（2）在（1）的条件下，，

，存在实数使成立，

即，即．

由于，

的最小值为2，

，

故实数的取值范围是，．

【点评】本题主要考查分式不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．

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日期：2019/4/10 14:57:23；用户：tp；邮箱：lsgjgz137@xyh.com；学号：21474120