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2019学年重庆市南开中学高三（上）月考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设，则（1）　　

A．4B．2C．0D．

2．（5分）已知，，则　　

A．，B．，C．，D．，

3．（5分）命题“对，都有”的否定为　　

A．对，都有

B．在上的最小值小于在上的最大值

C．使得

D．使得

4．（5分）已知函数，则　　

A．2B．4C．6D．8

5．（5分）已知函数且曲线在处的切线为，则曲线在处的切线的斜率为　　

A．2B．4C．6D．8

6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为　　

A．B．C．D．1

7．（5分）已知函数满足，且在，时，，设，（2），（3），则　　

A．B．C．D．

8．（5分）函数的部分图象大致为　　

A．B．

C．D．

9．（5分）已知函数，若（a）（b），则的取值范围是　　

A．B．C．D．

10．（5分）已知，，则　　

A．B．C．D．

11．（5分）已知函数，则关于的方程的解个数不可能为　　

A．3B．4C．5D．6

12．（5分）设函数，若有且仅有一个正实数，使得对任意的正实数都成立，则　　

A．B．1C．2D．3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为　 　．

14．（5分）设实数，满足，则的取值范围是　　．

15．（5分）已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于　 　．

16．（5分）若过点，，，可作曲线的切线恰有两条，则的最小值为　 　．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．（12分）设函数

求的单调区间；

求函数在区间上的最小值．

18．（12分）已知函数，，（a），其中，

求

若（1）且（1），求的取值范围．

19．（12分）如图在四棱锥中，底面是等腰梯形，且平面，，，平行四边形，，，的四个顶点分别在棱、、、的中点．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）求四棱锥的体积．

20．（12分）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，．

求椭圆的方程；

设椭圆在、两点的切线分别为、，为椭圆上任意一点，点到直线、的距离分别为、，证明：存在直线，使得点到的距离（其中满足恒为定值，并求出这一定值．

21．（12分）设函数

若，讨论函数的单调性并求极值；

若在恒成立，求实数的取值范围．

选做题：[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）

22．（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为、直线的参数方程为为参数）设直线与圆交于，两点，点的直角坐标为．

求直线与圆的直角坐标方程；

求的值．

[选修4-5不等式选讲]

23．设，．

若的最大值为，解关于的不等式；

若存在实数使关于的方程有解，求实数的取值范围．

2016-2017学年重庆市南开中学高三（上）10月月考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设，则（1）　　

A．4B．2C．0D．

【考点】63：导数的运算

【专题】11：计算题；33：函数思想；：定义法；52：导数的概念及应用

【分析】先求导，再代值计算即可

【解答】解：，

则（1），

故选：．

【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题

2．（5分）已知，，则　　

A．，B．，C．，D．，

【考点】：交集及其运算

【专题】37：集合思想；：定义法；：集合

【分析】由函数的定义域和值域的定义，化简集合，，再由交集的定义，即可得到所求集合．

【解答】解：，

，

则，．

故选：．

【点评】本题考查集合的交集的求法，注意运用函数的定义域和值域的求法，考查定义法和运算能力，属于基础题．

3．（5分）命题“对，都有”的否定为　　

A．对，都有

B．在上的最小值小于在上的最大值

C．使得

D．使得

【考点】：命题的否定

【专题】11：计算题；38：对应思想；：定义法；：简易逻辑

【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题，，则命题的否定是：使得．

故选：．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

4．（5分）已知函数，则　　

A．2B．4C．6D．8

【考点】：函数的值；：分段函数的应用

【专题】11：计算题；49：综合法；51：函数的性质及应用

【分析】利用分段函数以及函数的解析式，直接求解函数值即可．

【解答】解：函数，

则（1）．

故选：．

【点评】本题考查分段函数以及函数值的求法，是基础题．

5．（5分）已知函数且曲线在处的切线为，则曲线在处的切线的斜率为　　

A．2B．4C．6D．8

【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程

【专题】34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用

【分析】先根据曲线在点，（1）处的切线方程为，可得（1），再利用函数，可知，从而求出（1），即可得到所求切线的斜率．

【解答】解：曲线在点，（1）处的切线方程为，

（1），

函数，

，

（1）（1），

（1），

即曲线在处的切线的斜率为4．

故选：．

【点评】本题考查的重点是曲线在某点处切线的斜率，解题的关键是利用导数的几何意义．

6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为　　

A．B．C．D．1

【考点】：由三视图求面积、体积

【专题】11：计算题；：空间位置关系与距离；：立体几何

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，

棱锥的底面面积，

高为1，

故棱锥的体积，

故选：．

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．

7．（5分）已知函数满足，且在，时，，设，（2），（3），则　　

A．B．C．D．

【考点】：函数的周期性；：函数的值

【专题】16：压轴题；51：函数的性质及应用

【分析】易证函数的周期为2，进而可得，（2），（3）（1），再由函数在，的单调性，可得大小关系．

【解答】解：由题意可得，

可得函数为周期函数，其函数的周期为，

故，（2），（3）（1），

因为在，时，为增函数，

又，故，

故选：．

【点评】本题考查函数的周期性和函数的单调性，属中档题．

8．（5分）函数的部分图象大致为　　

A．B．

C．D．

【考点】：函数的图象与图象的变换

【专题】11：计算题；33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用

【分析】先根据函数的奇偶性的定义得到为偶函数，再根据极限的定义可得，问题得以解决．

【解答】解：函数的定义域为，，，

，

为偶函数，

的图象关于轴对称，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了函数图象的识别和应用，关键是掌握，属于中档题．

9．（5分）已知函数，若（a）（b），则的取值范围是　　

A．B．C．D．

【考点】57：函数与方程的综合运用

【专题】38：对应思想；49：综合法；51：函数的性质及应用

【分析】根据的对称性可知且，从而得出关于的二次函数，根据单调性得出答案．

【解答】解：，

的定义域为，且在上单调递减．

．

的图象关于点，对称．

（a）（b），

，，

．

在单调递减，

．

故选：．

【点评】本题考查了函数的单调性判断，对称性判断，属于中档题．

10．（5分）已知，，则　　

A．B．C．D．

【考点】：对数的运算性质

【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用

【分析】由已知结合对数的换底公式求得及的值，再由对数的运算性质求得．

【解答】解：，，

，，

解得：，

．

故选：．

【点评】本题考查对数的运算性质，考查了换底公式的应用，是基础题．

11．（5分）已知函数，则关于的方程的解个数不可能为　　

A．3B．4C．5D．6

【考点】53：函数的零点与方程根的关系

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用

【分析】令，求出的范围为，，作出在，上的函数图象，根据图象与一元二次解的情况判断各种情况．

【解答】解：令，则，

作出在，上的函数图象如图所示：

由图象可知（1）当或时，有2解，

而有2解，故而有4解．

（2）当时，有3解，而有2解，故而有6解．

（3）当时，有3解，不妨设为，，，且，则，

而只有一解，各有2解，故而有5解．

故选：．

【点评】本题考查了方程的根与函数图象的关系，考查换元法解题思想，属于中档题．

12．（5分）设函数，若有且仅有一个正实数，使得对任意的正实数都成立，则　　

A．B．1C．2D．3

【考点】57：函数与方程的综合运用

【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用

【分析】构造函数，判断的单调性，求出的极大值点，从而有．

【解答】解：令，则，

令，则，

当时，，当时，，

为函数的最大值．

若有且仅有一个正实数，使得对任意的正实数都成立，

则为的唯一最大值，

，

又为正实数，

故．

故选：．

【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中构造以为自变量的新函数，并分析函数的单调性，进而将已知转化为解答的关键，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为　，　．

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件

【专题】11：计算题；35：转化思想；：定义法；：简易逻辑

【分析】将条件关系转化为集合的包含关系；据集合的包含关系得到集合的端点的大小关系，列出不等式，求出的范围．

【解答】解：“”是“”的充分不必要条件

，

故答案为：，

【点评】本题考查利用集合关系来判断条件关系．当时，是的充分条件；当时，是的充分不必要条件；当时，是的充要条件．

14．（5分）设实数，满足，则的取值范围是　，　．

【考点】：简单线性规划

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：不等式

【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最值．

【解答】解：由实数，满足，得到可行域如图：由图象得到的范围为，，，，

即，，，，，．

所以则的最小值为；最大值为：；

所以的取值范围是：，

故答案为：，．

【点评】本题考查了简单线性规划问题；关键是正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求出其最值，然后根据对勾函数的性质求的范围．

15．（5分）已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于　　．

【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积

【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；：空间位置关系与距离

【分析】根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心是和△的外心连线段的中点，连接、、、、、．在中利用正、余弦定理算出，由球的体积算出，然后在△中，用勾股定理算出，得三棱柱的高，最后算出底面积，可得此直三棱柱的体积．

【解答】解：设和△的外心分别为、，连接，

可得外接球的球心为的中点，连接、、、、、

中，，

，，

根据正弦定理，得外接圆半径

球的体积为，，

△中，，可得，

直三棱柱的底面积，

直三棱柱的体积为．

故答案为：．

【点评】本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题．

16．（5分）若过点，，，可作曲线的切线恰有两条，则的最小值为　　．

【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程

【专题】34：方程思想；：转化法；52：导数的概念及应用；59：不等式的解法及应用

【分析】求出的导数，设切点，，求得切线的方程，代入切点，整理化简可得由条件切线恰有两条，方程恰有两根．令，求出导数，求得极值点，令其中一个极值为0，可得，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值．

【解答】解：，

过点作曲线的切线，

设切点，，则切线方程为：，

将，代入得：，

即

由条件切线恰有两条，方程恰有两根．

令，，

可得（1）或（a），

即有或（舍去），

则，

当且仅当时，取得等号．

即有的最小值为，

故答案为：，

【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和极值，考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法，考查转化思想和化简整理的运算能力，属于中档题．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．（12分）设函数

求的单调区间；

求函数在区间上的最小值．

【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值

【专题】33：函数思想；：构造法；53：导数的综合应用

【分析】求出导函数，得出函数的单调区间；

求导函数，判断函数在区间上的单调性即可．

【解答】解：

，

当在，时，，函数递增，

当在时，，函数递减，

故函数的增区间为，，减区间为；

，

在区间上大于零，

函数的最小值为．

【点评】本题考查了导函数的应用，利用导函数判断函数的单调性，求出函数的最值．

18．（12分）已知函数，，（a），其中，

求

若（1）且（1），求的取值范围．

【考点】57：函数与方程的综合运用

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用

【分析】（Ⅰ）推导出，由题意求出，从而（2），由此能求出．

（Ⅱ）出（1），从而，由此能求出的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）函数，，其中，，

，解得或，

解得（舍或，

（a），（a），即（2），

解得，．

（Ⅱ）函数，（1），

（1）且（1），

，，

解得，．

的取值范围是．

【点评】本题考查两数和的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质、对数性质及运算法则、不等式等基础知识，突出对分析、推理与计算能力的考查与应用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

19．（12分）如图在四棱锥中，底面是等腰梯形，且平面，，，平行四边形，，，的四个顶点分别在棱、、、的中点．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）求四棱锥的体积．

【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；：空间位置关系与距离

【分析】（1）先利用中位线定理证明四边形为平行四边形，再证明平面，得出，故而得出结论；

（2）先求出三棱锥的体积，则．

【解答】证明：（1）连接，，，，分别是，，，的中点，

，，

，

四边形是平行四边形，

平面，平面，

，

四边形是等腰梯形，，，

，，

，

，又平面，平面，，

平面，平面，

，又，

，

四边形是矩形．

（2），为的中点，

到平面的距离，

，，，

，

．

【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．

20．（12分）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，．

求椭圆的方程；

设椭圆在、两点的切线分别为、，为椭圆上任意一点，点到直线、的距离分别为、，证明：存在直线，使得点到的距离（其中满足恒为定值，并求出这一定值．

【考点】：椭圆的标准方程；：直线与椭圆的综合

【专题】35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线中的最值与范围问题

【分析】（Ⅰ）可设椭圆方程为：，易得，，即得椭圆的方程．

（Ⅱ）可得、的方程分别为，．

可得

当时，恒为定值

【解答】解：（Ⅰ）椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，．

可设椭圆方程为：

易得，

椭圆的方程为：

（Ⅱ）可得、的方程分别为，．

设，，则，，．

当，即时，恒为定值．

此时直线：．

【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查了定值问题的处理方法，属于中档题．

21．（12分）设函数

若，讨论函数的单调性并求极值；

若在恒成立，求实数的取值范围．

【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值

【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调性，从而确定的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）时，，，

则，

令，解得：，

令，解得：，

故在递减，在递增，

故的极小值是（1）；

（Ⅱ），

由，得，

方程的判别式△，且两根之积为，

故有一正一负2个不同实根，注意到（1），

令，

①时，图象开口向上，（1），

若，即时，，，

故，递减，（1），成立，

若，即时，则，

则，，，，递增，

（1），不成立，

②时，图象开口向下，（1），

，，，递增，（1），不成立，

综上，，．

【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

选做题：[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）

22．（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为、直线的参数方程为为参数）设直线与圆交于，两点，点的直角坐标为．

求直线与圆的直角坐标方程；

求的值．

【考点】：简单曲线的极坐标方程；：参数方程化成普通方程

【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：坐标系和参数方程

【分析】（Ⅰ）直线的参数方程消去参数，能求出直线的直角坐标方程，圆的极坐标方程转化为，由此能求出圆的直角坐标方程．

（Ⅱ）记圆心，半径，过作于点，则为中点，设，则，由此能求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）直线的参数方程为为参数），

消去参数，得直线的直角坐标方程为：．

圆的极坐标方程为，，

圆的直角坐标方程为，即．

（Ⅱ）记圆心，半径，

过作于点，则为中点，

设，

则．

【点评】本题考查直线与圆的直角坐标方程的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，突出对分析、推理与计算能力的考查与应用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

[选修4-5不等式选讲]

23．设，．

若的最大值为，解关于的不等式；

若存在实数使关于的方程有解，求实数的取值范围．

【考点】57：函数与方程的综合运用

【专题】38：对应思想；49：综合法；51：函数的性质及应用

【分析】求出的值，对的范围进行讨论，去掉绝对值符号解出不等式；

求出的值域，，令，得出的范围．

【解答】解：，的最大值为2，即．

，

或或，

解得．

等式的解集为．

．

的值域为，．

由知的值域为，，

若存在实数使关于的方程有解，则，

即，解得，

实数的取值范围是，．

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，函数存在性问题与最值的关系，属于中档题．

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日期：2019/4/14 18:47:03；用户：tp；邮箱：lsgjgz137@xyh.com；学号：21474120