陕西省汉中市2017届高三下学期第二次教学质量检测（4月模拟）数学（理）试卷.doc

汉中市2017届高三年级教学质量第二次检测考试

数学（理科）

注意事项：

1、选择题请按题号用2B铅笔填涂方框，非选择题，除作图可使用2B铅笔外，其余各题按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效。

2、按照题号在对应的答题区域内作答，超出各题区域的答案无效，在草稿纸、试题上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项符合题目要求。

1、已知全集，，，则（ ）．

A．B．C．D．

2、已知复数，则z在复平面上对应的点在第（ ）象限．

A．一B．二 C．三 D．四

3、汉中最美油菜花节期间，5名游客到四个不同景点游览，每个景点至少有一人，则不同的游览方法共有（ ）种。A．120 B．625 C． 240 D．1024

4、设向量，，则“”是“”的( )条件．

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

5、平面直角坐标系中，在直线x=1，y=1与坐标轴围成的正方形内任取一点，则此点落在曲线下方区域的概率为（ ）．

A．B．C．D．

6、如图所示，三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积（单位：）等于( )．

A．B．C．D．

7、公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为（ ）（参考数据：,）．

A．12 B．4 C．36 D．24

8、在中，分别为内角所对的边，若，则的最大值为( ) A．4 B．C．D．2

9、如图，F₁、F₂是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F₁的直线l与双曲线的两支分别交于点A、B.若△ABF₂为等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)

A． B. 4 C. D.

10、已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个零点x₁，x₂，则tan的值为 (　)．A． B． C． D．

11、已知实数x，y满足，则的的最小值为（ ）．

A． 1B．C． D． 4

12、已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）．

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，将答案填写在答题卡中的横线上）．

13、为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖规律,得如下实验数据,计算得回归直线方程为. 由以上信息,得到下表中c的值为 ．

14、的展开式中整理后的常数项为 ．

15、已知直线l：y＝k(x－2) 与抛物线C：y²＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝3|BF|，则直线l的倾斜角为 ．

16、已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使成立的的取值范围为　　　　　　．

三、解答题（解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．

17、（本小题满分12分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人．

（1）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；

（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．

18、（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有成立．记． （1）求数列和的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求证：．

19、（本小题满分12分）已知直三棱柱中，△ABC为等腰直角三角形，

∠BAC＝90°，且，D、E、F分别为、、的中点．（1）求证：直线DE∥平面ABC；（2）求锐二面角的余弦值．

20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，其右焦点为F（1,0）。（1）求椭圆E的方程；（2）若P、Q、M、N四点都在椭圆上，已知与共线，与共线，且，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

21、（本小题满分12分） 已知函数． (1) 设函数，求的单调区间；(2) 若存在常数k，m使得对任意恒成立，且对任意恒成立，则称直线为函数与的“分界线”，试问：与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上所选题目对应的题号涂黑。

22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为. （I）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）点P、Q分别在直线l和圆C上运动，求

∣PQ∣的最小值。

23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数，（1）若，解不等式；

（2）如果，，求a的取值范围．

数学（理科）参考答案

一、选择题：本题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项符合题目要求的。

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡中的横线上）

13、6 ； 14、252 ； 15、或 ； 16、（-1, 0）∪（0,1）

三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17、解析：（1）由直方图知，（0.15+0.125+0.1+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375………2分

因为甲班学习时间在区间[2,4]的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人。………3分

所以甲班学习时间在区间[10,12]的人数为40×0.0375×2=3（人）………5分

（2）乙班学习时间在区间[10,12]的人数为40×0.05×2=4（人）………6分

由（1）知甲班学习时间在区间[10,12]的人数为3人，在两班中每天平均学习时间大于10小时的学生共7人。的所有可能取值为0,1,2,3.则：,,,.………8分

所以随机变量的分布列为

所以. ………12分

18、【解析】（1）在中，令得.……2分

因为对任意正整数，都有成立，时，，

得，，所以，………4分

又，所以数列是以为首项，4为公比的等比数列，即，所以.………7分

（2）由题意及（1）知，………9分

所以.

由于为单调增函数 ，则故………12分

19、【解析】（1）方法一：设AB的中点为G，连接DG,CG，则,四边形DGCE为平行四边形，∴DE∥GC，又,∴DE∥平面ABC．………6分

方法二：（空间向量法）如图建立空间直角坐标系O—xyz，令AB＝AA₁＝4，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B₁（4，0，4），D（2，0，2）. ……2分，平面ABC的法向量为.

∵，∴，又∵，∴DE∥平面ABC．………6分

（2）∵,,,∴,∴,∵∴B₁F⊥平面AEF.

∴平面AEF的一个法向量为. ………8分

设平面 B₁AE的法向量为，则由，即.

令x＝2，则z=-2,y=1.………12分

20、【解析】（1），故椭圆方程为………4分

（2）如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(1,0)，且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k（k≠0），则PQ的方程为y=k(x-1)将此式代入椭圆方程得，于是

，………7分

同理：．

则………10分

当时，四边形PMQN的面积取最小值．

当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2．

综上：四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2．………12分

21、【解析】(1)由于函数，，

因此

则＝＝. ………3分$来&源：

当时，＜0，所以在（0，）上是减函数；

当时，＞0，所以在（，＋）上是增函数. ……… 5分

因此，函数的单调减区间是（0，），单调增区间是（，＋）.

(2)由(Ⅰ)可知，当时，取得最小值（）＝0，

则与的图象在处有公共点（，）.

假设与存在“分界线”，则其必过点（，） ………6分

故设其方程为：，即，

由对恒成立，得对恒成立，

所以恒成立，

因此，“分界线”的方程为：. ………9分

下面证明对恒成立.

设，则，

所以当时，，当时，＜0，

当时，取得最大值0，则对恒成立.

故所求“分界线”的方程为：. ………12分

22、【解析】(I)直线l的普通方程为x-y+1=0, 圆C的直角坐标方程易求得：………5分

(Ⅱ) 由平面几何知识知：最小值为圆心C到l的资*源%库 距离减半径，∵

∴∣PQ∣的最小值为。 ………10分

23、【解析】（1）当时，，由得：，

（法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为。………5分

（法二）不等式可化为或或，

∴不等式的解集为。………5分

（2）若，，不满足题设条件；

若，，的最小值为；

若，，的最小值为。

所以对于，的充要条件是，从而a的取值范围。………10分资*源%库