2006年高考文科数学试题（上海卷）.doc

2006 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

数学试卷（文史类）

考生注意：

1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校证码等填写写清楚。

2．本试卷共有 22道试题，满分 150分，考试时间 120分钟。请考生用钢笔或圆珠笔将答

案直接写在试卷上。

一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题。只要求直接

填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。

1．已知集合, 集合,若则实数.

2．已知两条直线若,则.

3．若函数的反函数的图像过点（2，－1），则 a=.

4．计算：.
5．若复数为纯虚数（I为虚数单位），其中，则=.

6．函数的最小正周期是.

7．已知双曲线的中心原点，一个顶点的坐标是（3，0），且焦距与虚轴长之比为 5：4则双曲线的标准方向是.
8．方程的解是.
9．已知实数满足.
10．在一个小组中有 8名女同学和 4名男同学，从中任意地挑选 2名同学担任交通安全宣

传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是（结果用分数表示）。
11．若曲线与直线没有公共点，则 b的取值范围是.

12．如图，平面中两条直线和相交于点 O，对于平面上任意一点 M，若 p、q分别是

M到下线和的距离，则称有序非负实数对

（p、q）是点 M的“距离坐标”。根据上述定义，

“距离坐标”是（1，2）的点的个数是
二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出 代号为 A、B、C 的四个结论，其中且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内。选对得4分，不选、选错或者选出的代号超 过一个（不论是 否都写在圆括号内），一律得零分。

13．如图，在平行四边形 ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ）
A．  B．C.D．

14．如果，那么，下列不等式中正确的是 [答]（ ）

A．B．C.D．

15．若空间中有两条直线。则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的

[答]（ ）

A．充分非必要条件. B．必要显而易见充分条件.

C．充分必要条件. D． 既非充分又非必要条件.

16．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称比直线与平面构成一个“下交线面对”，在

一个正方体中.由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的

个数是 [答]（ ）

A．48. B．18. C．24. D．36.
三、解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17．（本题满分 12分）
已知是第一象限的角，且，求的值。
18．（本题满分 12分）

如图，当甲船位于 A处时获悉，在其正东方向相距 20海里的 B处有一艘遇险等待营救，

甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30°，相距 10海里 C处的乙船，试

问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B处救援（角度精确到 1°）

19．（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 5分，第 2

小题满分满分 9分。

在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠ABC=90°，AB=BC=1。

（1）求异面直线 B1C1 与 AC所成角的大小；

（2）若直线 A1C与平面 ABC所成角为 45°，求三棱锥 A1—ABC的体积。

20．（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 7分，第 2

小题满分 7分。

设数列的前 n项和为 Sn，且对任意正整数 n，

（1）求数列的通相公式；

（2）设数列的前 n项和为，对数列 从第几项起 Tn＜－509？

参考答案

一、(第1题至笫12题)

1. 4 2. 2 3. 4. 5. 3 6.π 7.
   8. 5 9. 0 10.11.－1二、(第13题至笫16题)
   13. C 14. A 15. A 16. D
   三、(第17题至笫22题)
   17.解：=
   由已知可得sin,
   ∴原式=.
   18.解：连接BC,由余弦定理得BC²=20²+10²－2×20×10COS120°=700.
   于是,BC=10.
   ∵, ∴sin∠ACB=,
   ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
   ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
   19.解：(1) ∵BC∥B₁C₁, ∴∠ACB为异面直线B₁C₁与AC所成角(或它的补角)
   ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°,
   ∴异面直线B₁C₁与AC所成角为45°.
2. ∵AA₁⊥平面ABC,

∠ACA₁是A₁C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,

∴AA₁=.

∴三棱锥A₁-ABC的体积V=S_△ABC×AA₁=.

20.解(1) ∵a_n+ S_n=4096, ∴a₁+ S₁=4096, a₁=2048.

当n≥2时, a_n= S_n－S_n－1=(4096－a_n)－(4096－a_n－1)= a_n－1－a_n

∴=a_n=2048()^n－1.

(2) ∵log₂a_n=log₂[2048()^n－1]=12－n,

∴T_n=(－n²+23n).

由T_n<－509,解待n>,而n是正整数,于是,n≥46.

∴从第46项起T_n<－509.

21.解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.

又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为

(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x₀,y₀),

由	x=	得	x0=2x－1
	y=		y0=2y－

由,点P在椭圆上,得,

∴线段PA中点M的轨迹方程是.

(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S_△ABC=1.

当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,

解得B(,),C(－,－),

则,又点A到直线BC的距离d=,

∴△ABC的面积S_△ABC=

于是S_△ABC=

由≥－1,得S_△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.

∴S_△ABC的最大值是.

22.解(1) 由已知得=4, ∴b=4.

(2) ∵c∈[1,4], ∴∈[1,2],

于是,当x=时, 函数f(x)=x+取得最小值2.

f(1)－f(2)=,

当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+；

当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.

(3)设012,g(x₂)－g(x₁)=.

当12时, g(x₂)>g(x₁), 函数g(x)在[,+∞)上是增函数；

当012<时, g(x₂)>g(x₁), 函数g(x)在(0, ]上是减函数.

当n是奇数时,g(x)是奇函数,

函数g(x) 在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数.

当n是偶数时, g(x)是偶函数,

函数g(x)在(－∞,－)上是减函数, 在[－,0]上是增函数.

（理）（3）(3)可以把函数推广为y=(常数a>0),其中n是正整数.

当n是奇数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数,

在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数.

当n是偶数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数,

在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数.

F(x)=+

=

因此F(x) 在 [,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.

所以,当x=或x=2时, F(x)取得最大值()ⁿ+()ⁿ；

当x=1时F(x)取得最小值2ⁿ⁺¹.