2006年高考理科数学试题及答案（陕西卷）.doc

2006高考理科数学试题陕西卷

（必修＋选修II）

注意事项：

１．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。

2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。

3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x²+x－6≤0}, 则P∩Q等于( )

1. {2} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}

2.复数等于( )

A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i

3. 等于( )

1. 1 B. C. D.0

4.设函数f(x)=log_a(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于( )

A.6 B.5 C.4 D.3

5.设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x²+y²=2相切,则a 的值为( )

A.± B.±2 B.±2 D.±4

6."等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的( )

A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

7.已知双曲线 － =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为( )

A.2 B. C. D.

8.已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )

A.2 B.4 C.6 D.8

9.已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形

C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

10.已知函数f(x)=ax²+2ax+4(012,x₁+x₂=1－a,则( )

A.f(x₁)2) B.f(x₁)=f(x₂) C.f(x₁)>f(x₂) D.f(x₁)与f(x₂)的大小不能确定

11.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是( )

A.平面ABC必平行于α B.平面ABC必与α相交

C.平面ABC必不垂直于α D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内

12.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )

A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7

第二部分（共90分）

二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。

13.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为

14.(3x－)¹²展开式x^－3的系数为 (用数字作答)

15.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是

16.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）。

17.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=sin(2x－)+2sin²(x－) (x∈R)

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.

18. (本小题满分12分)

甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , .

(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;

(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ.

19. (本小题满分12分)

如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点A在直线l上的射影为A₁, 点B在l的射影为B₁,已知AB=2,AA₁=1, BB₁=, 求:

(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A₁－AB－B₁的大小.

20. (本小题满分12分)

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁,a₃,a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n.

21. (本小题满分12分)

如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M满足=t, = t , =t , t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程.

22.（本小题满分１4分）

已知函数f(x)=x³－x²+ + , 且存在x₀∈(0, ) ,使f(x₀)=x₀.

（I）证明：f(x)是R上的单调增函数；设x₁=0, x_n+1=f(x_n); y₁=, y_n+1=f(y_n),

其中　n=1,2,……

（II）证明：x_nn+10n+1n;

（III）证明：< .

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2006年高考理科数学参考答案（陕西卷）

一、选择题

1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．B 9．D

10．A 11．D 12．C

二、填空题

13．－ 14．594 15．3R 16．600

三、解答题

17.解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)

= 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1

=2sin[2(x－)－]+1

= 2sin(2x－) +1

∴ T==π

(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x－)=1,有 2x－ =2kπ+

即x=kπ+ (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ , (k∈Z)}.

18.解: (Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A₁ ,"乙投篮1次投进"为事件A₂ ,"丙投篮1次投进"为事件A₃,"3人都没有投进"为事件A . 则 P(A₁)= , P(A₂)= , P(A₃)= ,

∴ P(A) = P()=P()·P()·P()

= [1－P(A₁)] ·[1－P (A₂)] ·[1－P (A₃)]=(1－)(1－)(1－)=

∴3人都没有投进的概率为 .

(Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0,1,2,3), ξ~ B(3, ),

P(ξ=k)=C₃^k()^k()^3－k (k=0,1,2,3) , Eξ=np = 3× = .

解法二: ξ的概率分布为:

ξ	0	1	2	3
P

Eξ=0×+1×+2×+3×= .

19.解法一: (Ⅰ)如图, 连接A₁B,AB₁, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA₁⊥l, BB₁⊥l,

∴AA₁⊥β, BB₁⊥α. 则∠BAB₁,∠ABA₁分别是AB与α和β所成的角.

Rt△BB₁A中, BB₁= , AB=2, ∴sin∠BAB₁ = = . ∴∠BAB₁=45°.

Rt△AA₁B中, AA₁=1,AB=2, sin∠ABA₁= = , ∴∠ABA₁= 30°.

故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.

(Ⅱ) ∵BB₁⊥α, ∴平面ABB₁⊥α.在平面α内过A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E,则A₁E⊥平面AB₁B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A₁F⊥AB, ∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角.

在Rt△ABB₁中,∠BAB₁=45°,∴AB₁=B₁B=. ∴Rt△AA₁B中,A₁B== = . 由AA₁·A₁B=A₁F·AB得 A₁F== = ,

∴在Rt△A1EF中,sin∠A₁FE = = , ∴二面角A₁－AB－B₁的大小为arcsin.

解法二: (Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A₁(0,0,0),A(0,0,1),B₁(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z－1)=t(,1,－1), ∴点F的坐标为(t, t,1－t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1－t) ·(,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t= , ∴点F的坐标为(,－, ), ∴=(,, ). 设E为AB₁的中点,则点E的坐标为(0,, ). ∴=(,－,).

又·=(,－,)·(,1,－1)= － － =0, ∴⊥, ∴∠A₁FE为所求二面角的平面角.

又cos∠A₁FE= = = = = ,

∴二面角A₁－AB－B₁的大小为arccos.

20.解: ∵10S_n=a_n²+5a_n+6, ① ∴10a₁=a₁²+5a₁+6,解之得a₁=2或a₁=3.

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2),②

由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1),即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0

∵a_n+a_n－1>0 , ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2).

当a₁=3时,a₃=13,a₁₅=73. a₁, a₃,a₁₅不成等比数列∴a₁≠3;

当a₁=2时, a₃=12, a₁₅=72, 有 a₃²=a₁a₁₅ , ∴a₁=2, ∴a_n=5n－3.

21.解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x₀,y₀),E(x_E,y_E),M(x,y).由=t, = t , 知(x_D－2,y_D－1)=t(－2,－2). ∴ 同理 . ∴k_DE = = = 1－2t.

∴t∈[0,1] , ∴k_DE∈[－1,1].

(Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t²－2t). ∴ , ∴y= , 即x²=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].

即所求轨迹方程为: x²=4y, x∈[－2,2]

解法二: (Ⅰ)同上.

(Ⅱ) 如图, =+ = + t = + t(－) = (1－t) +t,

= + = +t = +t(－) =(1－t) +t,

= += + t= +t(－)=(1－t) + t

= (1－t²) + 2(1－t)t+t².

设M点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得

消去t得x²=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2].

故所求轨迹方程为: x²=4y, x∈[－2,2]

22.解: （I）∵f '(x)=3x²－2x+ = 3(x－)²+ >0 , ∴f(x)是R上的单调增函数.

（II）∵00< , 即x₁01.又f(x)是增函数, ∴f(x₁)0)1).即x₂02.

又x₂=f(x₁)=f(0)=>0 =x₁, y₂=f(y₁)=f()=<=y₁,综上, x₁2021.

用数学归纳法证明如下:

1. 当n=1时,上面已证明成立.
2. 假设当n=k(k≥1)时有x_kk+10k+1k.

当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(x_k)k+1)0)k+1)k),∴x_k+1k+20k+2k+1

由(1)(2)知对一切n=1,2,…,都有x_nn+10n+1n.

（III） = = y_n²+x_ny_n+x_n²－(y_n+x_n)+ ≤(y_n+x_n)²－(y_n+x_n)+

=[(y_n+x_n)－]²+ . 由(Ⅱ)知 0n+x_n<1.∴－< y_n+x_n－< , ∴ < ()²+ =