2006年高考理科数学试题及答案（安徽卷）.doc

2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。

4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：

如果时间A、B互斥，那么

如果时间A、B相互独立，那么

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

球的表面积公式，其中R表示球的半径

球的体积公式，其中R表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数等于（ ）

A．B．C．D．

解：故选A

（2）设集合，，则等于（ ）

A．B．C．D．

解：，，所以，故选B。

（3）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）

A．B．C．D．

解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D。

（4）设，已知命题；命题，则是成立的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解：命题是命题等号成立的条件，故选B。

（5）函数 的反函数是（ ）

A．B．C．D．

解：有关分段函数的反函数的求法，选C。

（6）将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）

A．B．

C．D．

解：将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，，所以，因此选C。

（7）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）

A．B．C．D．

解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A

（8）设，对于函数，下列结论正确的是（ ）

A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值

C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值

解：令，则函数的值域为函数的值域，又，所以是一个减函减，故选B。

（9）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A．B．C．D．

解：此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，，则此球的直径为，故选A。

（10）如果实数满足条件，那么的最大值为（ ）

A．B．C．D．

解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B。

（11）如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）

A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形

C．是钝角三角形，是锐角三角形

D．是锐角三角形，是钝角三角形

解：的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，，所以是钝角三角形。故选D。

（12）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ）

A．B．C．D．

解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得，所以选C。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。

（13）设常数，展开式中的系数为，则_____。

解：，由，所以，所以为1。

（14）在中，，M为BC的中点，则_______。（用表示）

解：，，所以。

（15）函数对于任意实数满足条件，若则__________。

解：由得，所以，则。

（16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：

①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7

以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）

解：如图，B、D、A₁到平面的距离分别为1、2、4，则D、A₁的中点到平面的距离为3，所以D₁到平面的距离为6；B、A₁的中点到平面的距离为，所以B₁到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A₁的中点到平面的距离为，所以C₁到平面的距离为7；而P为C、C₁、B₁、D₁中的一点，所以选①③④⑤。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（17）（本大题满分12分）已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值。

解：(Ⅰ)由得，即，又，所以为所求。

（Ⅱ）=

===。

（18）（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。

（Ⅰ）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）

（Ⅱ）求的数学期望。（要求写出计算过程或说明道理）

解：（Ⅰ）

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P

（Ⅱ）

（19）（本大题满分12分）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。

（Ⅰ）证明⊥；

（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。

解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形，

∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。

（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴，，。

过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以为所求二面角平面角。

在中，OH=，=。

在中，；

而

（Ⅱ）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，∴，，

设平面PAB的法向量为，则，，得，；

设平面PDB的法向量为，则，，得，；

（20）（本大题满分12分）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有

（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明其中和均为常数；

（Ⅲ）当（Ⅱ）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值。

证明（Ⅰ）令，则，∵，∴。

（Ⅱ）①令，∵，∴，则。

假设时，，则，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假设时，，则，而，∴，即成立。∴成立。

（Ⅲ）当时，，

令，得；

当时，，∴是单调递减函数；

当时，，∴是单调递增函数；

所以当时，函数在内取得极小值，极小值为

（21）（本大题满分12分）数列的前项和为，已知

（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和。

解：由得：，即，所以，对成立。

由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。

（Ⅱ）由，得。

而，

，

（22）（本大题满分14分）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；

（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。

解：∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。

（Ⅱ）当时，，，，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，

又，由得：，解得，则，所以为所求。