上海市金山中学2015届高三上学期期中考试数学试题

1．计算：。

2．函数的最大值为 。

3．函数的定义域为 。

4．方程的解集是 。

5．设，，若是的充分条件，则的取值范围是 。

6. 设全集，集合，则。

7．设，则。

8．设是上的奇函数，，当时，，则。

9. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为40000元。若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数为 。

10．设函数在区间上是增函数，则的取值范围为 。

11．定义：表示两个数中的最大值，表示两个数中的最小值。给出下列4个命题：①且；②且；③设函数和的公共定义域为，若，恒成立，则；④若函数的图像关于直线对称，则的值为。其中真命题是 。（写出所有真命题的序号）

12. 设函数，则函数的零点个数是 。13．如图，在单位圆中，用三角形的重心公式研究内接正三角形（点在轴上），有结论：。有位同学，把正三角形按逆时针方向旋转角，这时，可以得到一个怎样的结论呢？答： 。

14．若集合中的元素个数为4，则实数的取值范围是__。

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15．下列四类函数中，具有性质“对任意的，函数满足”的是（ ）

．幂函数．对数函数．指数函数．余弦函数

16． “是奇函数”是“”的（ ）

．充分而不必要条件．必要而不充分条件

．充分必要条件．既不充分也不必要条件

17．已知函数，若存在，使成立，则以下对实数的描述正确的是（ ）

．．．．

18．用表示正整数的最大奇因数（如、），记数列的前项的和为，则值为（ ）

．．．．

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

设函数。

（1）当时，若的最小值为，求正数的值；

（2）当时，作出函数的图像并写出它的单调增区间（不必证明）。

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分。

在中，角所对的边分别为，若。

（1）求的大小；

（2）设，求的值。

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期。

（1）已知数列的通项公式是，判断数列是否是周期数列？并说明理由；

（2）设数列满足（），，，且数列是周期为的周期数列，求常数的值；

（3）设数列满足，（其中是常数），（），求数列的前项和。

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分。

设函数。

1. 解不等式；
2. 设函数，若函数为偶函数，求实数的值；
3. 当时，是否存在实数（其中），使得不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分。

设等差数列的前项和为，且，。

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，且（其中是非零的实数），若，，成等差数列，问，，能成等比数列吗？说明理由；

（3）设数列的通项公式，是否存在正整数、（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有、的值；若不存在，说明理由。

金山中学2014学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷

参　考　答　案

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

设函数。

（1）当时，若的最小值为，求正数的值；

（2）当时，作出函数的图像并写出它的单调增区间（不必证明）。

解（1）， 3分

由得，； 6分

（2）图像正确， 10分

函数的单调增区间是和。 12分（对一个区间得1分）

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分。

在中，角所对的边分别为，若。

（1）求的大小；

（2）设，求的值。

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期。

（1）已知数列的通项公式是，判断数列是否是周期数列？并说明理由；

（2）设数列满足（），，，且数列是周期为的周期数列，求常数的值；

（3）设数列满足，（其中是常数），（），求数列的前项和。

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分。

设函数。

1. 解不等式；
2. 设函数，函数为偶函数，求实数的值；
3. 当时，是否存在实数（其中），使得不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

22解（1），4分（给出或扣1分）

（2），即， 5分

整理，得，； 9分

（如，，没有证明扣2分）

（3）， 11分

等价于恒成立，

解，得，

综上，不存在符合题意。 16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分。

设等差数列的前项和为，且，。

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，且（其中是非零的实数），若，，成等差数列，问，，能成等比数列吗？说明理由；

（3）设数列的通项公式，是否存在正整数、（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有、的值；若不存在，说明理由。

（3），，， 14分

解不等式，得， 16 分

所以，所有、的值分别为。 18 分

（只给、的值分别为，没有说明是所有的、，扣4分）