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2021浙江高考数学难不难
06月08日
西安市第一中学2016届高三第二学期第一次模拟考试
数学试卷(理科)
一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)
12.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且
f(x1)=x1<x2,则关于x的方程3(f(x))2+
2af(x)+b=0的不同实根个数是( )
A.3B.4C.5D.6
二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)
13.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=______.
14.已知p:﹣2≤x≤11,q:1﹣3m≤x≤3+m(m>0),若¬p是¬q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为_______.
15.如图,菱形ABCD的边长为1,∠ABC=60°,E、F分别
为AD、CD的中点,则=__________.
16.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若2ccosB=2a+b,△ABC的面积为S=c,则ab的最小值为_______.
三、解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)令bn=lnan,n=1,2,…,求数列{bn}的前n项和Tn.
18.(本题满分12分)某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的结果如下:
(1)求表中a,b的值
(2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立,
①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率;
②已知每吨该商品的销售利润为2千元,X表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元),求X的分布列和期望.
19.(本题满分12分)如图,在三棱锥D-ABC中,
DA=DB=DC,D在底面ABC上的射影E,
AB⊥BC,DF⊥AB于F.
(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面DEF;
(Ⅱ)若AD⊥DC,AC=4,∠BAC=60°,
求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值.
20.(本小题满分12分)已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,离心率为
,点M在椭圆上,且满足MF2⊥x轴,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线y=kx+2交椭圆于A,B两点,求△ABO(O为坐标原点)面积的最大值.
21.(12分)已知a∈R,函数f(x)=xln(﹣x)+(a﹣1)x.
(Ⅰ)若f(x)在x=﹣e处取得极值,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[]上的最大值g(a).
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 作答时请在答题卡上涂黑所做题号.
22.已知四边形ABCD内接于⊙O,AD:BC=1:2,BA、CD的
延长线交于点E,且EF切⊙O于F.
(Ⅰ)求证:EB=2ED;
(Ⅱ)若AB=2,CD=5,求EF的长.
23.在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,直线的参数方程为:
(t为参数),两曲线相交于M,N两点.
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(Ⅱ)若P(﹣2,﹣4),求|PM|+|PN|的值.
24.设函数f(x)=|x﹣4|+|x﹣a|(a>1),且f(x)的最小值为3.
(1)求a的值;
(2)若f(x)≤5,求满足条件的x的集合.
试卷答案
1.A 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 11.A 12.A 13.3 14.[8,+∞) 15.16.
17.解:(I)设{an}是公比q大于1的等比数列,∵a1+3,3a2,a3+4构成等差数列,
∴6a2=a3+4+a1+3,化为6a1q=+7+a1,又S3=a1(1+q+q2)=7,
联立解得a1=1,q=2.∴an=2n﹣1.6分
(II)bn=lnan=(n﹣1)ln2,∴数列{bn}的前n项和Tn=ln2. 12分
18.解:(1)∵=50∴a=
=0.5,b=
=0.3 3分
(2)①依题意,随机选取一天,销售量为1.5吨的概率p=0.5
设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨,则X~B(5,0.5)
P(X=2)=C52×0.52×(1﹣0.5)3=0.3125 7分
②X的可能取值为4,5,6,7,8,则
p(X=4)=0.22=0.04 p(X=5)═2×0.2×0.5=0.2 p(X=6)═0.52+2×0.2×0.3=0.37
p(X=7)═2×0.3×0.5=0.3 p(X=8)=0.32=0.09
所有X的分布列为:
EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2. 12分
19.(Ⅰ)如图,由题意知平面
所以,又
,所以
平面
又
平面
所以平面
平面
……4分
(Ⅱ)如图建系,则,
,
,
所以,
设平面的法向量为
由得
,取
设与
的夹角为
,所以
所以与平面
所成的角的正弦值为
8分
20.(I)由已知得,又由
,可得
,
,
得椭圆方程为,因为点
在第一象限且
轴,可得
的坐标为
,
由,解得
,所以椭圆方程为
5分
(II)设将
代入椭圆,可得
由,可得
,则有
所以因为直线
与轴交点的坐标为
所以的面积
令 , 由①知
所以时,面积最大为
. 12分
21.解:(Ⅰ)f'(x)=ln(﹣x)+a,
由题意知x=﹣e时,f'(x)=0,即:f'(﹣e)=1+a=0,∴a=﹣1
∴f(x)=xln(﹣x)﹣2x,f'(x)=ln(﹣x)﹣1
令f'(x)=ln(﹣x)﹣1=0,可得x=﹣e
令f'(x)=ln(﹣x)﹣1>0,可得x<﹣e
令f'(x)=ln(﹣x)﹣1<0,可得﹣e<x<0
∴f(x)在(﹣∞,﹣e)上是增函数,在(﹣e,0)上是减函数, 6分
(Ⅱ)f'(x)=ln(﹣x)+a,∵x∈ , ∴﹣x∈ , ∴ln(﹣x)∈ ,
①若a≥1,则f'(x)=ln(﹣x)+a≥0恒成立,此时f(x)在上是增函数,
fmax(x)=f(﹣e﹣1)=(2﹣a)e﹣1
②若a≤﹣2,则f'(x)=ln(﹣x)+a≤0恒成立,此时f(x)在上是减函数,
fmax(x)=f(﹣e2)=﹣(a+1)e2
③若﹣2<a<1,则令f'(x)=ln(﹣x)+a=0可得x=﹣e﹣a
∵f'(x)=ln(﹣x)+a是减函数,
∴当x<﹣e﹣a时f'(x)>0,当x>﹣e﹣a时f'(x)<0
∴f(x)在(﹣∞,﹣e)上左增右减,
∴fmax(x)=f(﹣e﹣a)=e﹣a,(13分)
综上:(12分)
22.证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠EAD=∠C,又∵∠DEA=∠BEC,∴△AED∽△CEB,
∴ED:EB=AD:BC=1:2,即EB=2ED;
(Ⅱ)∵EF切⊙O于F.∴EF2=ED•EC=EA•EB,设DE=x,则由AB=2,CD=5得:
x(x+5)=2x(2x﹣2),解得:x=3,∴EF2=24,即EF=2
23.解:(Ⅰ)根据x=ρcosθ、y=ρsinθ,求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x,
用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0.
(Ⅱ)直线l的参数方程为:(t为参数),
代入y2=4x,得到,设M,N对应的参数分别为t1,t2,
则 t1+t2=12,t1•t2=48,∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=
.
24.解:(1)函数f(x)=|x﹣4|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到4、a对应点的距离之和,
它的最小值为|a﹣4|=3,再结合a>1,可得a=7.
(2)f(x)=|x﹣4|+|x﹣7|=,故由f(x)≤5可得,
①,或
②,或
③.
解①求得3≤x<4,解②求得4≤x≤7,解③求得7<x≤8,
所以不等式的解集为.