青海师范大学附属第二中学2015届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学

(第三次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，. 则=

A．(-3，-2] B．[-2，-1) C．[-1，2) D．[2，3)

2．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为

1. 2 B. 2 C.D.
   3．直线l：y＝kx＋1与圆O：x²＋y²＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的
   A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
   C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
   4．已知,则
   A．-3 B. C．3 D.
   5．如右图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有
   A．11种 B． 12种
   C．20种 D． 21种
   6．已知O是坐标原点，点A（-1,1）, 若点M（x,y）为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是
   A．[0，1] B． [0，2] C．[－1，0] 　　D．[－1，2]
   7．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为
   A．2 B．1C．D．
   8．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），
   （11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）
   变量U与V相对应的一组数据为（10，5），
   （11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），
   表示变量Y与X之间的线性相关系数，
   表示变量V与U之间的线性相关系数，则
   A．B．
   C．D．
   9．在中,角A、B、C的对边分别是.
   若,则角A等于
   A．B．C．D．
   10. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，
   则该几何体的表面积为（单位：m²）
   1. B.

C.D.

11．已知双曲线的右焦点为，设，为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为

A. 4 B. 2 C. D.

12．已知函数又.

若的最小值为，则正数的值为

1. B.C.D.
   第Ⅱ卷
   本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
   二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
   13．已知向量=（，1），=（0，-1），=（k，）.若与共线，则k=______________.
   14．若曲线在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则＝________.
   15．已知是定义在R上的奇函数．当时，，则不等式
   的解集用区间表示为________________.
   16．如图，在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.
   设M是底面ABC内的一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、　　　
   p分别是三棱锥M—PAB、三棱锥M—PBC、三棱锥M—PCA的
   体积．若，且恒成立，则正实数a
   的最小值为________．
   三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
   17.（本小题满分12分）
   已知等差数列的首项,其前n项和为,且分别是等比数列的第2项,第3项,第4项.
   (I)求数列与的通项公式;
   (II)证明
   18．（本小题满分12分）
   如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为的菱形，
   且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝2 ，M，N分
   别为PB，PD的中点．
   1. 证明：MN∥平面ABCD；
   2. 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．
      19．（本小题满分12分）
      甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.
      (1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率;
      (2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
      20．（本小题满分12分）
      已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形．
      (1)求椭圆的方程；
      (2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使·恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．
      21．（本小题满分12分）
      已知函数 (为实常数) .
      (1)当时,求函数在上的最大值及相应的值;
      (2)当时,讨论方程根的个数.
      (3)若,且对任意的,都有,求实数a的取值范围.
      请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
      22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．
      如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，
      AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.
      （1）证明：∠D＝∠E;
      （2）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，
      且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.
      23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．
      极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴。已知曲线C₁的极坐标方程为，曲线C₂的极坐标方程为，射线与曲线C₁分别交异于极点O的四点A，B，C，D.
      （1）若曲线C₁关于曲线C₂对称，求a的值，并把曲线C₁和C₂化成直角坐标方程；
      （2）求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.
      24.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
      已知函数．
      1. 若不等式的解集为，求实数a的值；
      2. 在(I)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．
         

         ---

         2015届高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案
         一、选择题

         题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
         答案	C	A	A	D	D	B	C	B	C	B	B	B

         二、填空题：
         13. k=1; 14. ;15.x(-5,0)(5,+);16. 1.
         17.
         18．【解析】(1)如图，连接BD.∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在△PBD中，MN∥BD.
         又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD.
         (2)如图建系：A(0,0,0)，P(0,0,2 )，M，N(，0，)，C(，3,0)．
         设Q(x，y，z)，则C＝(x－，y－3，z)，
         C＝(－，－3，2 )．
         ∵C＝λC＝(－λ，－3λ，2 λ)，
         ∴Q(－λ，3－3λ，2 λ)．
         由A⊥C⇒A·C＝0，得λ＝.即：Q.
         对于平面AMN：设其法向量为n＝(a，b，c)．
         ∵A＝，A＝(，0，)．
         则⇒⇒
         ∴n＝.
         同理对于平面QMN，得其法向量为v＝.
         记所求二面角A－MN－Q的平面角大小为θ，则cosθ＝＝.
         ∴所求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为.
         19.解：（1）分别记“甲、乙、丙三位同学通过笔试”为事件，E表示事件“甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试”
         则：
         =0.6*0.5*0.6+0.6*0.5*0.4+0.4*0.5*0.4+0.6*0.5*0.4
         =0.5
         (2) “甲、乙、丙三位同学各自经过两次考试后能被该校预录取”分别记为事件A，B，C.
         则
         又题意，知X所有可能的取值为0，1，2，3.根据事件的独立性和互斥性得
         
         
         
         
         所求分布列为：

         X	0	1	2	3
         P	0.343	0.441	0.189	0.027

         
         20. 解　(1)由题意，知抛物线的焦点为F(，0)，
         所以c＝＝.
         因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，
         所以b＝×＝1.
         可求得a＝2，故椭圆的方程为＋y²＝1.
         (2)假设存在满足条件的点E，当直线l的斜率存在时，
         设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)．
         由得(4k²＋1)x²－8k²x＋4k²－4＝0，
         设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
         所以x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
         则＝(m－x₁，－y₁)，＝(m－x₂，－y₂)，
         所以·＝(m－x₁)(m－x₂)＋y₁y₂
         ＝m²－m(x₁＋x₂)＋x₁x₂＋y₁y₂
         ＝m²－m(x₁＋x₂)＋x₁x₂＋k²(x₁－1)(x₂－1)
         ＝m²－＋＋k²(－＋1)
         ＝
         ＝
         ＝(4m²－8m＋1)＋.
         要使·为定值，令2m－＝0，即m＝，此时·＝.
         当直线l的斜率不存在时，不妨取P(1，)，Q(1，－)，
         由E(，0)，可得＝(，－)，＝(，)，所以·＝－＝.
         综上，存在点E(，0)，使·为定值.
         21. 解:(1),当时,.当时,,又,故,当时,取等号
         (2)易知,故,方程根的个数等价于时,
         方程根的个数. 设=,
         当时,,函数递减,当时,,函数递增.又,,作出与直线的图像,由图像知:
         当时,即时,方程有2个相异的根;
         当或时,方程有1个根;
         当时,方程有0个根;
   3. 当时,在时是增函数,又函数是减函数,不妨设,则等价于

即,故原题等价于函数在时是减函数,

恒成立,即在时恒成立.

在时是减函数

22．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠D=∠CBE，

∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；

（2）设BC的中点为N，连接MN，

则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，

∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，

∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，

∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形

23．解：（1）：，-------------------2分

：，-----------------------------------4分

因为曲线关于曲线对称，，：------5分

（2）；

，

-----------------------8分

-----------------------10分

24.解：（Ⅰ）由得，∴，即，

∴，∴。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,令，

则，

∴的最小值为4，故实数的取值范围是。