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2021浙江高考数学难不难
06月08日
哈尔滨三中2015年第四次模拟考试
数学试卷(理工类)
考试说明:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
(1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;
(2)选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚;
(3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效;
(4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.
第I卷(选择题, 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
南岗 校区 | 群力校区 | |
2 | 0.04 | 1 2 3 6 |
9 3 | 0.05 | 9 |
6 2 1 | 0.06 | 2 9 |
3 3 1 | 0.07 | 9 |
6 4 | 0.08 | 7 |
7 | 0.09 | 2 4 6 |
9.用数学归纳法证明不等式“”时,由
不等式成立,推证
时,左边应增加的项数是
10.双曲线的中心在原点,焦点在
轴上,离心率为
,双曲线
与抛物线
的准线交于
,
两点,
,则双曲线
的实轴长为
11. 定义在R上的奇函数,当
时,
,则关于
的函数
的所有零点之和为
A.B.
C.
D.
12.已知数列满足
,且
,则
的整数部分是
A.0 B.1 C.2 D.3
哈尔滨三中2015年第四次模拟考试
数学试卷(理工类)
第Ⅱ卷(非选择题, 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.)
13. 在等比数列中,
,
,则
.
14. 现要将四名大学生分配到两所学校实习,则不同分配方法有 种.
15.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点,且法向量为
的直线(点法式)方程为
,化简得
.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点
,且法向量为
的平面(点法式)方程为 .
16. 向量,
,
,函数
的最大值为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期及在区间
上的最大值和最小值;
(Ⅱ)将函数图像向左平移
个单位,再向上平移
个单位,得到函数
图像,求的对称轴方程和对称中心坐标.
18.(本小题满分12分)
某企业有位员工.拟在新年联欢会中,增加一个摸球兑奖的环节,规定:每位员工从一个装有
个标有面值的球的袋中一次性随机摸出
个球,球上所标的面值之和为该员工所获的中奖额.企业预算抽奖总额为
元,共提出两种方案.
方案一:袋中所装的个球中有两个球所标的面值为
元,另外两个标的面值为
元;
方案二:袋中所装的个球中有两个球所标的面值为
元,另外两个标的面值为
元.
(Ⅰ)求两种方案中,某员工获奖金额的分布列;
(Ⅱ)在两种方案中,请帮助该企业选择一个适合的方案,并说明理由.
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱柱中,面
为矩形,
,
,
为
的中点,
与
交于点
,
面
.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,求二面角
的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆:
的焦点分别为
、
,点
在椭圆
上,满足
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点,试探究是否存在直线
与椭圆
交于
、
两点,且使得
?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数,
.
(Ⅰ)若,且
存在单调递减区间,求
的取值范围;
(Ⅱ)设函数的图象
与函数
的图象
交于点
、
,过线段
的
中点作
轴的垂线分别交
、
于点
、
,是否存在点
,使
在点
处的切线与在点
处的切线平行?如果存在,求出点
的横坐标,如果不
存在,说明理由.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,是圆
的直径,
是半径
的中点,
是
延长线上一点,且
,直线
与圆
相交于点
、
(不与
、
重合),
与
圆相切于点
,连结
,
,
.
(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若
,求
.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知点,
,点
在曲线
:
上.
(Ⅰ)求点的轨迹方程和曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)求的最小值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知正实数,
满足:
.
(Ⅰ)求的最小值
;
(Ⅱ)设函数,对于(Ⅰ)中求得的
,是否存在实数
,使得
成立,若存在,求出
的取值范围,若不存在,说明理由.
哈尔滨三中2015年第四次模拟考试
数学试卷(理工类)答案及评分标准
一、选择题:
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | B | B | A | A | C | A | C | C | D | D | C |
二、填空题:
13.14.
15.
16.
三、解答题:
17.,
,
的最大值为
--------------6分
(2),
对称轴为直线,
对称中心为
,
--------12分
18. (1) 设方案一某员工获奖金额为,则
的可能取值为
,
则的分布列为
![]() | 20 | 60 | 100 |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
--------------------4分
设方案二某员工获奖金额为,则
的可能取值为
,
则的分布列为
![]() | 40 | 60 | 80 |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
--------------------8分
(2),
若回答由于两种方案的奖励额的期望相等,希望奖金分配更集中,方案二的方差比方案一的方差小,所以应该选择方案二 ----------------------12分
若回答由于两种方案的奖励额的期望相等,希望奖金分配差距大一些,方案一的方差比方案二的方差大,所以应该选择方案一 ----------------------12分
19.(1)由与
相似,知
,又
平面
,
,
平面
,
;---------------6分
(2)以为坐标原点
、
、
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
,
,
设平面,平面
的法向量分别为
,
,
则,
;
,
,
,
二面角的余弦值为
.-----12分
20.(1),
∴所求
的方程为
.------4分
(2)假设存在直线满足题设,设
,
将代入
并整理得
, ----------------------------6分
由,
得-----------①
又设
中点为
,
,得②
--------------------10分
将②代入①得
化简得,解得
或
所以存在直线,使得
,此时
的取值范围为
.-------12分
21. 解:(1)时,设函数
则
因为函数存在单调递减区间,所以
有解,
即,有
的解。
综上所述,的取值范围为
------------4分
(2)设点、
的坐标是
则点、
的横坐标为
点在
处的切线斜率为
点
处的切线斜率为
假设点
处的切线与
在点
处的切线平行,则k1=k2
即则
. 设
,则
①
令则
因为时,
,所以r(t)在
上单调递增.故
则.这与①矛盾,假设不成立.
故在点
处的切线与
在点
处的切线不平行.----------------12分
22.(1)连接,
,
,
为等边三角形,则
,
可证与
相似,得
;
又,则
-------5分
(2)由(1)知,
,
与
相似,则
-------10分
因为,所以
…………5分
(2)
…………10分
24.(1),
. …………5分
(2),
当且仅当时成立,此时
,
存在
使
成立. …………10分