2019年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）.docx

2019年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）设复数满足是虚数单位），则　　

A．B．2C．1D．

2．（5分），，则　　

A．，B．，C．，D．，

3．（5分）已知，则的值为　　

A．B．C．D．

4．（5分）已知实数，满足，则的取值范围为　　

A．，B．，C．，D．，

5．（5分）已知，，，则是的　　

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入，分别为18，27，则输出的　　

A．0B．9C．18D．54

7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　

A．B．C．D．

8．（5分）直线与交于，两点，若，则的取值范围是　　

A．B．C．D．

9．（5分）已知函数，在随机取一个实数，则（a）的概率为　　

A．B．C．D．

10．（5分）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为　　

A．B．C．D．

11．（5分）双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，且，若，则双曲线离心率的取值范围是　　

A．B．C．D．

12．（5分）函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且（2），则不等式的解集为　　

A．B．C．D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.

13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则　 　．

14．（5分）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点，处的切线方程为　 　．

15．（5分）平面上，点、为射线上的两点，点、为射线上的两点，则有（其中、分别为、的面积）；空间中，点、为射线上的两点，点、为射线上的两点，点、为射线上的两点，则有　　（其中、分别为四面体、的体积）．

16．（5分）方程的解称为函数的不动点，若有唯一不动点，且数列满足，，则　　．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（12分）已知直线是函数的图象的一条对称轴．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）设中角，，，所对的边分别为，，，若（B），且，求的取值范围．

18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求直方图中的值；

（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为，求的分布列与数学期望．

（Ⅲ）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨，估计的值（精确到，并说明理由．

19．（12分）如图，在棱台中，与分别是棱长为1与2的正三角形，平面平面，四边形为直角梯形，，，为中点，．

（Ⅰ）设中点为，，求证：平面；

（Ⅱ）若到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆中心的弦满足，，且△的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线不经过点，且与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

21．（12分）已知函数．

（Ⅰ）若，求证：当时，；

（Ⅱ）若存在，使，求实数的取值范围．

请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线，为参数）．

（Ⅰ）求曲线上的点到曲线距离的最小值；

（Ⅱ）若把上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设，曲线与交于，两点，求．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知，．

（Ⅰ）若，满足，，求证：；

（Ⅱ）求证：．

2017年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）设复数满足是虚数单位），则　　

A．B．2C．1D．

【考点】：复数的运算

【专题】35：转化思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数求模公式计算得答案．

【解答】解：由，

得，

则．

故选：．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．

2．（5分），，则　　

A．，B．，C．，D．，

【考点】：交集及其运算

【专题】37：集合思想；：转化法；：集合

【分析】分别求出关于、的不等式，求出、的交集即可．

【解答】解：，

，

则，，

故选：．

【点评】本题考查了解不等式问题，考查集合的运算，是一道基础题．

3．（5分）已知，则的值为　　

A．B．C．D．

【考点】：二倍角的三角函数

【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值

【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得的值．

【解答】解：已知，则平方可得，，

故选：．

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．

4．（5分）已知实数，满足，则的取值范围为　　

A．，B．，C．，D．，

【考点】：简单线性规划

【专题】31：数形结合；48：分析法；59：不等式的解法及应用

【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义表示在轴上的截距，求最值，只需求出直线过点或点时，的最值即可．

【解答】解先根据约束条件画出不等式组表示的可行域，的几何意义为直线在轴上的截距．

由图知，当直线过点时，最小值为2．

当直线过点时，最大值为7．

故选：．

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义由平移法求最值，属于基础题．

5．（5分）已知，，，则是的　　

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件

【专题】33：函数思想；53：导数的综合应用；：简易逻辑

【分析】，令，利用导数研究其单调性即可判断出命题的真假．而，令，同理判断出此命题的真假．

【解答】解：，令，则，函数在上单调递增，则，因此命题是真命题．

而，令，则，，有解，因此函数存在极值点，设为，则．，因此命题不一定成立．

是的必要不充分条件．

故选：．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入，分别为18，27，则输出的　　

A．0B．9C．18D．54

【考点】：程序框图

【专题】11：计算题；27：图表型；：试验法；：算法和程序框图

【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的，的值，即可得到结论．

【解答】解：由，，不满足，

则变为，

由，则变为，

由，

则输出的．

故选：．

【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．

7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　

A．B．C．D．

【考点】：由三视图求面积、体积

【专题】35：转化思想；：转化法；：立体几何

【分析】由三视图可知，该几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，高为2，由体积公式计算体积即可．

【解答】解：由三视图可知，该几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，

高为2，故其体积，

故选：．

【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图，得出该几何体是什么图形，从而解答问题，是基础题．

8．（5分）直线与交于，两点，若，则的取值范围是　　

A．B．C．D．

【考点】：直线与圆的位置关系；：直线和圆的方程的应用

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；：平面向量及应用

【分析】根据直线与圆有两个交点可推断出圆心到直线的距离小于或等于半径，根据，利用平行四边形法则推断出范围，通过夹角为直角时求得原点到直线的距离，可得范围，求得的范围．

【解答】解：直线与圆交于相异两点、，

点到直线的距离，

又，由是菱形，并且，

可知，．

圆的圆心到直线的距离，

可得：，，解得，．

故选：．

【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质，向量的几何意义等．考查了学生分析问题和解决问题的能力．

9．（5分）已知函数，在随机取一个实数，则（a）的概率为　　

A．B．C．D．

【考点】：几何概型

【专题】11：计算题；35：转化思想；：数学模型法；：概率与统计

【分析】由题意，本题属于几何概型的运用，已知区间的长度为，找出满足（a）的范围，求出区间长度，由几何概型公式解答

【解答】解：在使（a）的的范围为，区间长度为，由几何概型的公式得到所求概率为；

故选：．

【点评】本题考查解三角函数与几何概型等知识，关键是求出满足条件的区间长度，利用几何概型公式求之．

10．（5分）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为　　

A．B．C．D．

【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；：空间位置关系与距离

【分析】求出棱锥的最大高度，利用勾股定理计算外接圆的半径，从而得出球的体积．

【解答】解：是等腰直角三角形，

为截面圆的直径，故外接球的球心在截面中的射影为的中点，

当，，共线且，位于截面同一侧时棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为，

，解得，

设外接球的半径为，则，，

在中，，

由勾股定理得：，解得．

外接球的体积．

故选：．

【点评】本题考查了棱锥与球的位置关系，几何体的体积计算，属于中档题．

11．（5分）双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，且，若，则双曲线离心率的取值范围是　　

A．B．C．D．

【考点】：双曲线的性质

【专题】11：计算题；34：方程思想；：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】设，，设，分析可得，，根据条件判断，由双曲线的离心率公式可得，令，分析的范围，由对号函数的性质分析可得的范围，将的范围代入其中，计算可得的范围，化简即可得答案．

【解答】解：根据题意，设，，设，

则有，，

又由，则有，

，

令，由于，

则，，则，，

则有，

则有，

即双曲线离心率的取值范围是，；

故选：．

【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是根据条件判断，结合正弦定理以及转化为函数最值问题．

12．（5分）函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且（2），则不等式的解集为　　

A．B．C．D．

【考点】：利用导数研究函数的单调性

【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用

【分析】构造函数，，利用导函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．

【解答】解：函数是定义在上的可导函数，为其导函数，

令，则，

可知当时，是单调减函数，并且，即

时，函数是单调增函数，（2），

则（2）（2），

则不等式的解集就是的解集，

不等式的解集为：．

故选：．

【点评】本题考查函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.

13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则　27　．

【考点】：分层抽样方法

【专题】11：计算题；35：转化思想；：定义法；：概率与统计

【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论

【解答】解：由题意可得，

即，

故答案为：27

【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系即可得到结论．

14．（5分）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点，处的切线方程为　　．

【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程

【专题】34：方程思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用

【分析】运用偶函数的定义，可得，得时，，求出导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求得切点，运用点斜式方程，即可得到所求方程．

【解答】解：函数为偶函数，可得，

即有时，，

当时，，

可得，

则时，，

导数为，

可得曲线在点，处的切线斜率为，

切点为，

则曲线在点，处的切线方程为，

即为．

故答案为：．

【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查函数的奇偶性的运用：求解析式，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．

15．（5分）平面上，点、为射线上的两点，点、为射线上的两点，则有（其中、分别为、的面积）；空间中，点、为射线上的两点，点、为射线上的两点，点、为射线上的两点，则有　　（其中、分别为四面体、的体积）．

【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；：空间位置关系与距离

【分析】设与平面所成的角为，则两棱锥的高的比为，底面积比为，根据棱锥的体积公式即可得出体积比．

【解答】解：设与平面所成的角为，

则到平面的距离，到平面的距离，

，

，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了棱锥的结构特征和体积计算，属于中档题．

16．（5分）方程的解称为函数的不动点，若有唯一不动点，且数列满足，，则　2017　．

【考点】：数列与函数的综合

【专题】35：转化思想；：转化法；54：等差数列与等比数列

【分析】由题意可知：，则有唯一不动点，求得的值，由，整理得，根据等差数列的性质即可求得．

【解答】解：由题意可知：，即，

由有唯一不动点，则，即，

，，整理得：，

，

则，数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，

，

故答案为：2017．

【点评】本题考查函数的不动点的定义，考查等差数列的性质及通项公式，考查计算能力，属于中档题．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（12分）已知直线是函数的图象的一条对称轴．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）设中角，，，所对的边分别为，，，若（B），且，求的取值范围．

【考点】：正弦函数的单调性；：正弦函数的奇偶性和对称性；：正弦定理

【专题】33：函数思想；：转化法；57：三角函数的图象与性质；58：解三角形

【分析】（Ⅰ）由是函数的一条对称轴求出的值，写出的解析式，再求的单调增区间；

（2）由（B）求出的值，再由正弦定理、的表达式，写出的表达式，利用三角函数的性质求出它的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）是函数的一条对称轴，

或，

解得；（3分）

，

令，，

解得，，

的增区间是：；（6分）

（2）由（B），得，解得；

又，由正弦定理得：

，

；（8分）

又，，，

，，

，，

即，．（12分）

【点评】本题考查了三角函数的化简与求值的应用问题，也考查了正弦定理的应用问题，是综合题．

18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求直方图中的值；

（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为，求的分布列与数学期望．

（Ⅲ）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨，估计的值（精确到，并说明理由．

【考点】：频率分布直方图；：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差

【专题】31：数形结合；：数学模型法；：概率与统计

【分析】（Ⅰ）根据频率和为1，列出方程求得的值；

（Ⅱ）计算月均用水量不低于3吨的频率值，由抽取的人数的可能取值为0，1，2，3；

计算对应的概率值，写出的分布列，计算数学期望值；

（Ⅲ）计算月均用水量小于2.5吨和小于3吨的百分比，

求出有的居民月用水量不超过的标准值．

【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得

，

解得；

（Ⅱ）月均用水量不低于3吨的频率为

，

则，抽取的人数为，

则的可能取值为0，1，2，3；

，

，

，

；

的分布列为

	0	1	2	3
	0.729	0.243	0.027	0.001

数学期望为；

（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为

，

即的居民月均用水量小于2.5吨；

同理，的居民月均用水量小于3吨；

故，

假设月均用水量平均分布，则

（吨，

即的居民每月用水量不超过标准为2.9吨．

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．

19．（12分）如图，在棱台中，与分别是棱长为1与2的正三角形，平面平面，四边形为直角梯形，，，为中点，．

（Ⅰ）设中点为，，求证：平面；

（Ⅱ）若到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值．

【考点】：直线与平面平行；：直线与平面所成的角

【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；：空间位置关系与距离；：空间角

【分析】（Ⅰ）延长三棱台的三条侧棱，设交点为，当时为的中点，设中点为，连，，，由中位线定理可证平面，平面，再由面面平行的判定可得平面平面，从而得到平面；

（Ⅱ）设中点为，连，，在中，作且交于点，由平面平面，可得平面，进一步得到平面（D），求出到平面的距离．可得为直线与平面所成角．然后求解三角形得答案．

【解答】（Ⅰ）证明：延长三棱台的三条侧棱，设交点为，当时为的中点，

设中点为，连，，，

在梯形中，中位线，又平面，平面，

平面；

在中，中位线，又平面，平面，

平面，

又且平面，平面，

平面平面，

又平面

平面；

（Ⅱ）解：设中点为，连，，在中，作且交于点，

平面平面，平面平面，

平面，，平面，

又，平面（D），

为到平面的距离，．

且为直线与平面所成角．

平面平面，平面平面，

平面，，平面，

又平面，，

在中，，，，，

由，得，即为的中点．

，又，，．

在中，．

故直线与平面所成角的正弦值为．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．

20．（12分）椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆中心的弦满足，，且△的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线不经过点，且与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【考点】：椭圆的标准方程；：圆锥曲线的综合

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】（1）利用已知条件推出平行四边形为矩形，求出，通过三角形的面积求解，然后求解，即可得到椭圆方程．

（2）利用，通过韦达定理求出值，然后求解定点坐标．

【解答】解：（1）平行四边形为矩形，

，

又，得，，

椭圆方程：．（4分）

（2）解：设直线，，，，，

则

．（6分）

以为直径的圆经过点，

．（10分）

又直线不经过，所以，，

直线，

直线经过定点（12分）

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．

21．（12分）已知函数．

（Ⅰ）若，求证：当时，；

（Ⅱ）若存在，使，求实数的取值范围．

【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究函数的最值

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用

【分析】（Ⅰ）时，化简求出导数，设，然后求解二次导数，求出导函数的最值，然后证明结论．

（Ⅱ）若存在，使，即，即存在，使．设，求出导函数，设，通过函数的单调性求解函数的最值，推出结果．

【解答】解：（Ⅰ）证明：时，，

设，在递增，又（1），时，在递增，

时，（1），即，

时，，即．（6分）

（2）若存在，使，即

即存在，使．

设，则，

设，在，递增，

，所以在，恒成立，在，恒成立，

所以在，递增，所以时，，

需．（12分）

【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及导函数的导数的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力．

请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线，为参数）．

（Ⅰ）求曲线上的点到曲线距离的最小值；

（Ⅱ）若把上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设，曲线与交于，两点，求．

【考点】：简单曲线的极坐标方程；：参数方程化成普通方程

【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：坐标系和参数方程

【分析】（Ⅰ）求出曲线的直角坐标方程为：，，再求出圆心到直线距离，由此能求出曲线上的点到曲线距离的最小值．

（Ⅱ）伸缩变换为，从而曲线，为参数）代入曲线，得．由此能求出．

【解答】解：（Ⅰ）曲线，曲线的直角坐标方程为：，

圆心为，半径为，

为参数）消去参数的，（2分）

圆心到直线距离，（3分）

曲线上的点到曲线距离的最小值为．（5分）

（Ⅱ）把上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．

伸缩变换为，曲线，（7分）

为参数）代入曲线，整理得．

，（8分）

．（10分）

【点评】本题考查曲线上的点到直线的距离的最小值的求法，考查两线段和的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知，．

（Ⅰ）若，满足，，求证：；

（Ⅱ）求证：．

【考点】：不等式的证明

【专题】35：转化思想；49：综合法；：不等式

【分析】（Ⅰ）；

（Ⅱ）即可．

【解答】证明：（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得：

；

（Ⅱ）因为

，

【点评】本题考查了绝对值不等式的性质，作差法证明不等式，属于中档题．

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日期：2019/4/9 9:22:21；用户：tp；邮箱：lsgjgz137@xyh.com；学号：21474120