2019年四川省成都七中高考数学三诊试卷（文科）.docx

2019年四川省成都七中高考数学三诊试卷（文科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，，则为　　

A．，B．C．，D．

2．（5分）已知复数满足是虚数单位），则的虚部为　　

A．B．C．1D．

3．（5分）把，内的均匀随机数分别转化为，和，内的均匀随机数，需实施的变换分别为　　

A．，B．，

C．，D．，

4．（5分）已知命题，，命题，，则下列说法中正确的是　　

A．命题是假命题B．命题是真命题

C．命题是真命题D．命题是假命题

5．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为　　

A．4B．C．D．2

6．（5分）已知为内一点，且，，若，，三点共线，则的值为　　

A．B．C．D．

7．（5分）在约束条件下，目标函数的最大值为　　

A．26B．24C．22D．20

8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是　　

A．？B．？C．？D．？

9．（5分）已知函数是奇函数，则的值为　　

A．0B．2C．D．

10．（5分）将函数图象上每一点的缩短为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到的图象，则函数的单调递增区间为　　

A．B．

C．D．

11．（5分）已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为　　

A．1B．2C．3D．4

12．（5分）定义函数，则函数在区间，内的所有零点的和为　　

A．B．C．D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）　　．

14．（5分）已知在平面直角坐标系中，，，，则三角形的外接圆的方程是　　．

15．（5分）在锐角中，角、、所对的边分别为，，，且、、成等差数列，，则面积的取值范围是　　．

16．（5分）四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是　　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和，求．

18．（12分）某县共有90间农村淘宝服务站，随机抽取5间，统计元旦期间的网购金额（单位：万元）的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．

（1）根据茎叶图计算样本均值；

（2）若网购金额（单位：万元）不小于18的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站．根据茎叶图推断90间服务站中有几间优秀服务站？

（3）从随机抽取的5间服务站中再任取2间作网购商品的调查，求恰有1间是优秀服务站的概率．

19．（12分）在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，面面，．．

（1）求证：平面平面；

（2）设为线段上一点，，试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由？

（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离．

20．（12分）设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，且得最大值为1．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角为坐标原点），求的取值范围．

21．（12分）已知函数，其中；

（Ⅰ）若函数在处取得极值，求实数的值，

（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若关于的不等式，当时恒成立，求的值．

选修4-4：坐标系与参数方程

22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．

（Ⅰ）写出曲线，的普通方程；

（Ⅱ）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求．

选修4-5：不等式选讲

23．已知，使不等式成立．

（1）求满足条件的实数的集合；

（2）若，，对，不等式恒成立，求的最小值．

2018年四川省成都七中高考数学三诊试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，，则为　　

A．，B．C．，D．

【考点】：交集及其运算

【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合

【分析】先求出集合，，由此能求出．

【解答】解：集合，

，

，．

故选：．

【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

2．（5分）已知复数满足是虚数单位），则的虚部为　　

A．B．C．1D．

【考点】：复数的运算

【专题】34：方程思想；35：转化思想；：数系的扩充和复数

【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．

【解答】解：复数满足是虚数单位），

，．

则的虚部为1．

故选：．

【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（5分）把，内的均匀随机数分别转化为，和，内的均匀随机数，需实施的变换分别为　　

A．，B．，

C．，D．，

【考点】：进行简单的合情推理

【专题】15：综合题；33：函数思想；：转化法；：推理和证明

【分析】先看区间长度之间的关系：故可设或，再用区间中点之间的对应关系得到，解出，问题得以解决．

【解答】解：注意到，的区间长度是，的区间长度4倍，

因此设是常数）

再用两个区间中点的对应值，

得当时，，

所以，可得

因此与的关系式为：，

注意到，的区间长度是，的区间长度5倍，

因此设是常数）

再用两个区间中点的对应值，

得当时，，

所以，可得

因此与的关系式为：，

故选：．

【点评】本题考查均匀随机数的含义与应用，属于基础题．解决本题解题的关键是理解均匀随机数的定义，以及两个均匀随机数之间的线性关系．

4．（5分）已知命题，，命题，，则下列说法中正确的是　　

A．命题是假命题B．命题是真命题

C．命题是真命题D．命题是假命题

【考点】：复合命题及其真假；：命题的真假判断与应用

【专题】：探究型；：定义法；：简易逻辑

【分析】先判断命题，的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到答案．

【解答】解：，，故命题为真命题；

当，时，，故命题为假命题，

故命题是真命题，

命题是假命题，

命题是真命题，

命题是真命题，

故选：．

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题等知识点，难度中档．

5．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为　　

A．4B．C．D．2

【考点】：由三视图求面积、体积；：棱柱、棱锥、棱台的体积

【专题】11：计算题；31：数形结合；：空间位置关系与距离；：立体几何

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，

底面面积为：，

底面周长为：，

故棱柱的表面积，

故选：．

【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．

6．（5分）已知为内一点，且，，若，，三点共线，则的值为　　

A．B．C．D．

【考点】：三点共线

【专题】34：方程思想；35：转化思想；：平面向量及应用

【分析】以，为邻边作平行四边形，连接与相交于点，为的中点．由，可得，点是直线的中点．根据，，，三点共线，可得点是与的交点．过点作交于点，则点为的中点．即可得出．

【解答】解：以，为邻边作平行四边形，连接与相交于点，为的中点．

，，

点是直线的中点．

，，，三点共线，

点是与的交点．

过点作交于点，则点为的中点．

则，，

，

，

．

故选：．

【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形与平行四边形法则、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．（5分）在约束条件下，目标函数的最大值为　　

A．26B．24C．22D．20

【考点】：简单线性规划

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：不等式

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图：

联立，解得，

化目标函数为．

由图可知，当直线过时，

直线在轴上的截距最大，

有最大值为：26．

故选：．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是　　

A．？B．？C．？D．？

【考点】：程序框图

【专题】11：计算题；27：图表型；：算法和程序框图

【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

【解答】解：第一次执行后，，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则，，

第二 次执行后，，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则，，

第三次执行后，，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则，，

第四次执行后，，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则，，

第五次执行后，，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则，，

第六次执行后，，满足输出条件，

故进行循环的条件可以为？，

故选：．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．

9．（5分）已知函数是奇函数，则的值为　　

A．0B．2C．D．

【考点】：函数的值；：分段函数的应用

【专题】11：计算题；35：转化思想；51：函数的性质及应用

【分析】利用分段函数以及函数的奇偶性，化简求解即可．

【解答】解：函数是奇函数，所以，（2）．

（2），

故选：．

【点评】本题考查分段函数的应用，函数的奇偶性的应用，解题的技巧是没有求解函数的解析式，是好题．

10．（5分）将函数图象上每一点的缩短为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到的图象，则函数的单调递增区间为　　

A．B．

C．D．

【考点】：函数的图象变换

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质

【分析】根据三角函数的图象变换关系即可得解函数的解析式，进而根据三角函数的单调性的性质求出单调递增区间即可．

【解答】解：将函数图象上的所有点缩短为原来的一半（纵坐标不变），可得图象，

再把曲线上所有点向右平移个单位长度得到的图象，即，

由，，

则可得：，，

即的单调递增区间是，，．

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数图象之间的关系以及三角函数的图象和性质，难度不大．

11．（5分）已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为　　

A．1B．2C．3D．4

【考点】：双曲线的性质

【专题】35：转化思想；：定义法；：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得，进而得到，由抛物线的焦点坐标，可得，进而得到抛物线的方程．连接，过点作于点，作准线于点．由抛物线的定义，得到，再由平面几何知识可得当、、三点共线时，有最小值，因此算出到直线的距离，即可得到所求距离的最小值．

【解答】解：双曲线的渐近线方程为，

右顶点到其一条渐近线的距离等于，可得

，解得，

即有，

由题意可得，解得，

即有抛物线的方程为，

如图，过点作于点，

作准线于点，

连接，根据抛物线的定义得，

设到的距离为，到直线的距离为，

，

根据平面几何知识，可得当、、三点共线时，有最小值．

到直线的距离为．

的最小值是2，

由此可得所求距离和的最小值为2．

故选：．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，同时考查抛物线的方程和性质，给出抛物线和直线，求抛物线上一点到准线的距离与直线距离之和的最小值，着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．

12．（5分）定义函数，则函数在区间，内的所有零点的和为　　

A．B．C．D．

【考点】53：函数的零点与方程根的关系

【专题】51：函数的性质及应用

【分析】函数是分段函数，要分区间进行讨论，当，是二次函数，当时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．

【解答】解：当时，，

所以，此时当时，；

当时，，所以；

由此可得时，．

下面考虑且时，的最大值的情况．

当时，由函数的定义知，

因为，

所以，

此时当时，；

当时，同理可知，．

由此可得且时，．

综上可得：对于一切的，函数在区间，上有1个零点，

从而在区间，上有个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．

故选：．

【点评】本题属于根的存在性及根的个数的判断的问题，是一道较复杂的问题，首先它是分段函数，各区间上的函数又很复杂，挑战人的思维和耐心．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）　3　．

【考点】：对数的运算性质

【专题】11：计算题；49：综合法；51：函数的性质及应用

【分析】利用对数运算性质即可得出．

【解答】解：原式．

故答案为：3．

【点评】本题考查了对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14．（5分）已知在平面直角坐标系中，，，，则三角形的外接圆的方程是　　．

【考点】：正弦定理

【专题】34：方程思想；58：解三角形；：直线与圆

【分析】设三角形的外接圆的方程是，把，，代入可得：，解出即可得出．

【解答】解：设三角形的外接圆的方程是，

把，，代入可得：，

解得：，，．

三角形的外接圆的方程是：，

故答案为：．

【点评】本题考查了三角形的外接圆方程、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．（5分）在锐角中，角、、所对的边分别为，，，且、、成等差数列，，则面积的取值范围是　　．

【考点】：数列与三角函数的综合

【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列；58：解三角形

【分析】由，，成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出的度数，由正弦定理求出，，再由锐角三角形的定义和和差正弦公式，结合正弦函数的性质，可得的范围，进而得到三角形的面积的范围．

【解答】解：、、成等差数列，，

，即，

，，可得，

由正弦定理可得，

则，，

可设，，

由锐角，可得，

，，

则

，，

则三角形的面积为，，

故答案为：，．

【点评】本题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及等差数列中项的性质，熟练掌握和差公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属于中档题．

16．（5分）四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是　，．　．

【考点】：球的体积和表面积

【专题】35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离

【分析】由题意可知，平面平面，由，可得，，当时，为等边△时，设为正方形的外心，为的外心，为球心，此时球半径，

当时，为钝角△时，此时球半径．当时，为直角△，该四棱锥外接球就是以棱长为2的正方体的外接球，

【解答】解：如图，由题意可知，平面平面，过作，垂足为，可得面

四棱锥的体积取值范围为，则，

，，

当时，为等边△时，设为正方形的外心，为的外心，为球心，

可得，此时球半径，

当时，为钝角△时，，外接圆半径，外心到的距离为．

此时球半径．四棱锥的外接球的表面积为

当时，为直角△，该四棱锥外接球就是以棱长为2的正方体的外接球，

四棱锥的外接球的表面积取值范围为：，．

故答案为：，．

【点评】本题考查棱锥、球体积的求法，考查空间想象能力与逻辑思维能力，是中档题．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和，求．

【考点】：数列的求和；：等差数列与等比数列的综合

【专题】15：综合题；33：函数思想；：数学模型法；54：等差数列与等比数列

【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，得首项与公差，代入等差数列的通项公式得答案；

（2）直接利用错误相减法求数列的前项和．

【解答】解：（1）设等差数列的公差为，

由，且，，成等比数列，得

，解得，．

；

（2），

数列的前项和，

，

，

．

【点评】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，考查错位相减法求数列的前项和，是中档题．

18．（12分）某县共有90间农村淘宝服务站，随机抽取5间，统计元旦期间的网购金额（单位：万元）的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．

（1）根据茎叶图计算样本均值；

（2）若网购金额（单位：万元）不小于18的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站．根据茎叶图推断90间服务站中有几间优秀服务站？

（3）从随机抽取的5间服务站中再任取2间作网购商品的调查，求恰有1间是优秀服务站的概率．

【考点】：茎叶图

【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：概率与统计

【分析】（1）由茎叶图能求出样本均值．

（2）样本中优秀服务站为2间，频率为，由此能估计90间服务站中有几间优秀服务站；

（3）由于样本中优秀服务站为2间，记为，，非优秀服务站为3间，记为，，，从随机抽取的5间服务站中任取2间，利用列举法能求出恰有1间是优秀服务站的概率．

【解答】解：（1）样本均值．

（2）样本中优秀服务站为2间，频率为，

由此估计90间服务站中有间优秀服务站；

（3）由于样本中优秀服务站为2间，记为，，非优秀服务站为3间，记为，，，

从随机抽取的5间服务站中任取2间的可能性有：

，，，，，，，，，，，，，，

，，，，，共10种情况，

其中恰有1间是优秀服务站的情况为：

，，，，，，，，，，，种情况，

故所求概率为．

【点评】本题考查平均数、频数、概率的求法，考查茎叶图、列举法等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题．

19．（12分）在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，面面，．．

（1）求证：平面平面；

（2）设为线段上一点，，试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由？

（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离．

【考点】：平面与平面垂直；：点、线、面间的距离计算

【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；：空间位置关系与距离

【分析】（1）推导出，从而面，进而，过点作作于，推导出．从而平面，由此能证明平面平面．

（2）在线段上取点，使得，连接．推导出，由此能证明平面．

（3）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由此能求出点到平面的距离．

【解答】证明：（1）因为面面，面面，

所以面，．

在梯形中，过点作作于，

故四边形是正方形，

所以．

在中，，，，

，

．

因为，平面，

平面．

平面，平面，

平面平面．

解：（2）在线段上存在点，使得平面

在线段上取点，使得，连接．

在中，因为，

所以与相似，所以

又平面，平面，所以平面．

（3）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，0，，，1，，，2，，，，，

，，，，1，，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

点到平面的距离．

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

20．（12分）设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，且得最大值为1．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角为坐标原点），求的取值范围．

【考点】：椭圆的标准方程；：直线与椭圆的综合

【专题】15：综合题；38：对应思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程；：圆锥曲线中的最值与范围问题

【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，设出的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，以及两点的距离的含义，结合椭圆的性质，可得，进而得到椭圆方程；

（2）将直线方程，与已知椭圆联立方程组，运用设而不求韦达定理求出根的关系，求出的取值范围．

【解答】解：（1）设，由椭圆

可得，，，，，

，，，，

可得，

由表示原点和椭圆上的点的距离的平方，

可得轴上的顶点与原点的距离最大，

即有，解得，

则椭圆的方程为；

（2）可设，，，，，

联立，消去，整理得：

△，

，，

为锐角，

，

，

，

即，

解得，

故的取值范围为，．

【点评】本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力，需要熟练运用设而不求韦达定理．本题为中档题

21．（12分）已知函数，其中；

（Ⅰ）若函数在处取得极值，求实数的值，

（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若关于的不等式，当时恒成立，求的值．

【考点】：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究函数的最值

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用

【分析】（Ⅰ）利用函数的导数，通过函数在处取得极值，即可求实数的值，

（Ⅱ）不等式，推出的表达式，构造函数，利用函数的导数求解函数的最值求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）

当时，，解得

经验证满足条件，

（Ⅱ）当时，

整理得

令，

则，

所以，即，

．

【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，构造法的应用，考查计算能力．

选修4-4：坐标系与参数方程

22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．

（Ⅰ）写出曲线，的普通方程；

（Ⅱ）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求．

【考点】：简单曲线的极坐标方程；：参数方程化成普通方程

【专题】17：选作题；34：方程思想；：演绎法；：坐标系和参数方程

【分析】（Ⅰ）消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线，的普通方程；

（Ⅱ）直线的参数方程为：为参数），将其代入曲线整理可得：，利用参数的几何运用求．

【解答】解：（Ⅰ）（1分）

即的普通方程为．（3分）

，，，可化为，（3分）

即．（4分）

（Ⅱ）曲线左焦点为，（5分）

直线的倾斜角为，．（6分）

所以直线的参数方程为：为参数），（7分）

将其代入曲线整理可得：，（8分）

所以△．

设，对应的参数分别为，，则．（9分）

所以．（10分）

【点评】本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题．

选修4-5：不等式选讲

23．已知，使不等式成立．

（1）求满足条件的实数的集合；

（2）若，，对，不等式恒成立，求的最小值．

【考点】：不等式恒成立的问题；：绝对值不等式的解法

【专题】35：转化思想；：分类法；：不等式

【分析】（1）求出的取值范围，根据题意求得的取值范围；

（2）由题意不等式化为，根据基本不等式求得的最小值．

【解答】解：（1）令，

则，

；

由于使不等式成立，

则有；

（2）由（1）知，，

根据基本不等式，

从而，当且仅当时取等号，

再根据基本不等式，

当且仅当时取等号；

，

即的最小值为18．

【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了基本不等式与转化思想，是中档题．

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日期：2019/4/9 8:37:04；用户：tp；邮箱：lsgjgz137@xyh.com；学号：21474120