2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-天津卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．

3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．

参考公式：

如果事件互斥，那么球的表面积公式

如果事件相互独立，那么其中表示球的半径

一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合，，则（ ）

A．B．C．D．

（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（　　）

Ａ．10Ｂ．12Ｃ．13Ｄ．14

（3） “”是“直线平行于直线”的（ ）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

（4）设，，，则（ ）

A．B．C．D．

（5）函数的反函数是（ ）

A．B．

C．D．

（6）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）

A．若与所成的角相等，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

（7）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

（8）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）

Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8

（9）设函数，则（ ）

A．在区间上是增函数B．在区间上是减函数

C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数

（10）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．

3．本卷共12小题，共100分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．

（11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：

分组
频数	1	2	3	10		1

则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％．

（12）的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．

（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为 ．

（14）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　　　．

（15）在中，，，是边的中点，则．

（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

在中，已知，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

（18）（本小题满分12分）

已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面，

，，是的中点．

（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；

（Ⅱ）证明平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

（20）（本小题满分12分）

在数列中，，，．

（Ⅰ）证明数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．

（21）（本小题满分14分）

设函数（），其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；

（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．

（22）（本小题满分14分）

设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文史类）参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

（1）B（2）C（3）C（4）A（5）C

（6）D（7）D（8）B（9）A（10）A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．

（11）（12）（13）

（14）（15）（16）

三、解答题

（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．

（Ⅰ）解：在中，，由正弦定理，

．

所以．

（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是

，

，

．

．

（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．

（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件．由于事件相互独立，且

，，

故取出的4个球均为红球的概率是

．

（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．由于事件互斥，且

，．

故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为

．

（19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．

（Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故．

又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．

在中，，故．

所以和平面所成的角的大小为．

（Ⅱ）证明：在四棱锥中，

因底面，平面，故．

由条件，，面．

又面，．

由，，可得．

是的中点，，

．综上得平面．

（Ⅲ）解：过点作，垂足为，连结．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．

因此是二面角的平面角．

由已知，可得．设，可得

，，，．

在中，，，则

．

在中，．

所以二面角的大小．

（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．

（Ⅰ）证明：由题设，得

，．

又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为

．

所以数列的前项和．

（Ⅲ）证明：对任意的，

．

所以不等式，对任意皆成立．

（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．

（Ⅰ）解：当时，，得，且

，．

所以，曲线在点处的切线方程是，整理得

．

（Ⅱ）解：

．

令，解得或．

由于，以下分两种情况讨论．

（1）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且

；

函数在处取得极大值，且

．

（2）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且

；

函数在处取得极大值，且

．

（Ⅲ）证明：由，得，当时，

，．

由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，

只要

即

　　　　　　　　①

设，则函数在上的最大值为．

要使①式恒成立，必须，即或．

所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．

（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．

（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中

，由于点在椭圆上，有，

，

解得，从而得到，

直线的方程为，整理得

．

由题设，原点到直线的距离为，即

，

将代入原式并化简得，即．

证法二：同证法一，得到点的坐标为，

过点作，垂足为，易知，故

由椭圆定义得，又，所以

，

解得，而，得，即．

（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．

当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组

的解．当时，由①式得

代入②式，得，即

，

于是，

．

若，则

．

所以，．由，得．在区间内此方程的解为．

当时，必有，同理求得在区间内的解为．

另一方面，当时，可推出，从而．

综上所述，使得所述命题成立．