2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-上海卷

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）

数学试卷(理工农医类)

考生注意：

1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．函数的定义域是 ．

2．若直线与直线平行，则．

3．函数的反函数．

4．方程的解是 ．

5．若，且，则的最大值是 ．

6．函数的最小正周期．

7．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是

（结果用数值表示）．

8．以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是

．

9．对于非零实数，以下四个命题都成立：

①； ② ；

③ 若，则； ④ 若，则．

那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 ．

10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知是两个

相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是

直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异

面直线的充分条件：

．

11．已知为圆上任意

一点（原点除外），直线

的倾斜角为弧度，记．

在右侧的坐标系中，画出以

为坐标的点的轨迹的大致图形为

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．

12．已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程

的两个根，那么的值分别是（　　）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

13．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

14．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形

中，若，则的可能值个数是（　　）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

15．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推

出成立”．那么，下列命题总成立的是（　　）

Ａ．若成立，则当时，均有成立

Ｂ．若成立，则当时，均有成立

Ｃ．若成立，则当时，均有成立

Ｄ．若成立，则当时，均有成立

三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

16．（本题满分12分）

如图，在体积为1的直三棱柱中，．求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

17．（本题满分14分）

在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．

（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知函数，常数．

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数在上为增函数，求的取值范围．

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．

（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，

．依次写出的每一项；

（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；

（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．

如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．

（1）若是边长为1的等边三角形，求

“果圆”的方程；

（2）当时，求的取值范围；

（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”

的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”

平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由．

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）

数学试卷(理工农医类)答案要点

一、填空题（第1题至第11题）

1．2．3．4．

5．6．7．8．9．②④

10．，并且与相交（，并且与相交）

11．

二、选择题（第12题至第15题）

三、解答题（第16题至第21题）

16．解法一： 由题意，可得体积

，

．

连接．，

平面，

是直线与平面所成的角．

，

，则＝．

即直线与平面所成角的大小为．

解法二： 由题意，可得

体积，

，

如图，建立空间直角坐标系． 得点，

，． 则，

平面的法向量为．

设直线与平面所成的角为，与的夹角为，

则，，

即直线与平面所成角的大小为．

17．解： 由题意，得为锐角，，

，

由正弦定理得，．

18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为

，，，．

则2006年全球太阳电池的年生产量为

(兆瓦)．

（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．

解得．

因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到．

19．解：（1）当时，，

对任意，，为偶函数．

当时，，

取，得，

，

函数既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）解法一：设，

，

要使函数在上为增函数，必须恒成立．

，即恒成立．

又，．

的取值范围是．

解法二：当时，，显然在为增函数．

当时，反比例函数在为增函数，

在为增函数．

当时，同解法一．

20．解：（1）设的公差为，则，解得，

数列为．

（2）

，

，

当时，取得最大值．

的最大值为626．

（3）所有可能的“对称数列”是：

①；

②；

③；

④．

对于①，当时，．

当时，

．

对于②，当时，．

当时，．

对于③，当时，．

当时，．

对于④，当时，．

当时，．

21． 解：（1），

，

于是，所求“果圆”方程为

，．

（2）由题意，得，即．

，，得．

又．．

（3）设“果圆”的方程为，．

记平行弦的斜率为．

当时，直线与半椭圆的交点是

，与半椭圆的交点是．

的中点满足

得．

，．

综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．

当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．

由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．

当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．