2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-浙江卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理工类）

第I卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）“”是“”的（　　）

Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件

Ｃ．充分不必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件

（2）若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（ ）

A．B．

C．D．

（3）直线关于直线对称的直线方程是（　　）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

（5）已知随机变量服从正态分布，，则（ ）

A．B．C．D，

（6）若两条异面直线外的任意一点，则（　　）

Ａ．过点有且仅有一条直线与都平行

Ｂ．过点有且仅有一条直线与都垂直

Ｃ．过点有且仅有一条直线与都相交

Ｄ．过点有且仅有一条直线与都异面

（7）若非零向量满足，则（　　）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

（8）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

（9）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

（10）设是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）

A．B．

C．D．

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

（11）已知复数，，则复数．

（12）已知，且，则的值是 ．

（13）不等式的解集是 ．

（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）．

（15）随机变量的分布列如下：

其中成等差数列，若，则的值是 ．

（16）已知点在二面角的棱上，点在内，且．若对于内异于的任意一点，都有，则二面角的大小是．

（17）设为实数，若，则的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（18）（本题14分）已知的周长为，且．

（I）求边的长；

（II）若的面积为，求角的度数．

（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点．

（I）求证：；

（II）求与平面所成的角．

（20）（本题14分）如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为．

（I）求在，的条件下，的最大值；

（II）当，时，求直线的方程．

（21）（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．

（I）求，，，；

（II）求数列的前项和；

（Ⅲ）记，

，

求证：．

（22）（本题15分）设，对任意实数，记．

（I）求函数的单调区间；

（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；

（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理工类）答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

（1）A（2）D（3）D（4）B（5）A

（6）B（7）C（8）D（9）B（10）C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．

（11）（12）（13）（14）

（15）（16）（17）

三、解答题

（18）解：（I）由题意及正弦定理，得，

，

两式相减，得．

（II）由的面积，得，

由余弦定理，得

　　，

所以．

（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分．

方法一：

（I）证明：因为，是的中点，

所以．

又平面，

所以．

（II）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，．

是直线和平面所成的角．

因为平面，

所以，

又因为平面，

所以，

则平面，因此．

设，，

在直角梯形中，

，是的中点，

所以，，，

得是直角三角形，其中，

所以．

在中，，

所以，

故与平面所成的角是．

方法二：

如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，．，．

（I）证明：因为，，

所以，

故．

（II）解：设向量与平面垂直，则，，

即，．

因为，，

所以，，

即，

，

直线与平面所成的角是与夹角的余角，

所以，

因此直线与平面所成的角是．

（20）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．

（Ⅰ）解：设点的坐标为，点的坐标为，

由，解得，

所以

．

当且仅当时，取到最大值．

（Ⅱ）解：由

得，

，

． ②

设到的距离为，则

，

又因为，

所以，代入②式并整理，得

，

解得，，代入①式检验，，

故直线的方程是

或或，或．

21．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．

（I）解：方程的两个根为，，

当时，，

所以；

当时，，，

所以；

当时，，，

所以时；

当时，，，

所以．

（II）解：

．

（III）证明：，

所以，

．

当时，

，

，

同时，

．

综上，当时，．

22．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．

（I）解：．

由，得

．

因为当时，，

当时，，

当时，，

故所求函数的单调递增区间是，，

单调递减区间是．

（II）证明：（i）方法一：

令，则

，

当时，由，得，

当时，，

所以在内的最小值是．

故当时，对任意正实数成立．

方法二：

对任意固定的，令，则

，

由，得．

当时，．

当时，，

所以当时，取得最大值．

因此当时，对任意正实数成立．

（ii）方法一：

．

由（i）得，对任意正实数成立．

即存在正实数，使得对任意正实数成立．

下面证明的唯一性：

当，，时，

，，

由（i）得，，

再取，得，

所以，

即时，不满足对任意都成立．

故有且仅有一个正实数，

使得对任意正实数成立．

方法二：对任意，，

因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：

，

即，①

又因为，不等式①成立的充分必要条件是，

所以有且仅有一个正实数，

使得对任意正实数成立．