2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-重庆卷

2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）

数学（理工科）

本卷满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、若等差数列的前3项和且，则等于（ ）

A、3B、4C、5D、6

2、命题“若，则”的逆否命题是（ ）

A、若≥，则≥或≤B、若，则

C、若或，则D、若≥或≤，则≥

3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）

A、5部分B、6部分C、7部分D、8部分

4、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）

A、10B、20C、30D、120

5、在中，，则等于（ ）

A、B、C、2D、

6、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）

A、B、C、D、

7、若是与的等比中项，则的最大值为（ ）

A、B、C、D、

8、设正数满足等于（ ）

A、0B、C、D、1

9、已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）

A、B、C、D、

10、如右图，在四边形ABCD中，，，，则的值为（ ）

A、2B、C、4D、

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答卷相应位置上.

11、复数的虚部为_______________.

12、已知满足则函数的最大值是____________.

13、若函数的定义域为R，则的取值范围为___________________.

14、设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则_____________.

15、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有__________种.（以数字作答）

16、过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为_____________.

三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分）

设.

（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）若锐角满足，求的值.

18（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）

某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位在此保险中：

（Ⅰ）获赔的概率；

（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望.

19（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）

如右图，在直三棱柱中，；点、分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为.

（Ⅰ）求异面直线与的距离；

（Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值.

20（本小题满分13分，其中（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小问分别为6、4、3分）

已知函数在处取得极值，其中a、b为常数.

（Ⅰ）试确定a、b的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调区间；

（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

21（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：

.

22（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点，使，证明：

为定值，并求此定值.

数学参考答案（理工科）

一、选择题

ADCBACBBDC

二、填空题：

11、12、713、

14、1815、2516、

三、解答题：

17、解：（Ⅰ）

故的最大值为；最小正周期.

（Ⅱ）由得，故.

又由得，故，解得.

从而.

18、解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，.

由题意知独立，且.

（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为

.

（Ⅱ）的所有可能值为.

,

，

，

.

综上知，的分布列为

	0	9000	18000	27000
P

求的期望有两种解法：

解法一：由的分布列得

（元）

解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，

则有分布列

	0	9000
P

故.

同理得.

综上有

（元）.

19、解法一：

（Ⅰ）因，且，故面A₁ABB₁，从而B₁C₁⊥B₁E，又

B₁E⊥DE，故B₁E是异面直线B₁C₁与DE的公垂线.

设BD的长度为，则四棱椎的体积为

.

而直三棱柱的体积为.

由已知条件，故，解得.

从而B₁D.

又直角三角形中，

,

又因.

故.

（Ⅱ）如右图，过B₁作B₁F⊥C₁D，垂足为F，连接A₁F.因A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁D，

故A₁B₁⊥面B₁DC₁，由三垂线定理知C₁D⊥A₁F，故∠A₁FB₁为所求二面角的平面角.

在直角中，，

又因，故

，所以.

20、解：（Ⅰ）由题意知，因此，从而.

又对求导得.

由题意，因此，解得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.令，解得.

当时，，此时为减函数；

当时，，此时为增函数.

因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.

要使恒成立，只需.

即，从而.

解得或.

所以的取值范围为

21、（Ⅰ）解：由，解得或.由假设，因此.

又由，得

，即或.

因，故不成立，舍去.

因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为

.

（Ⅱ）证法一：由可解得

从而.

因此.

令，则

.

因，故.

特别地，从而，

即.

证法二：同证法一求得及.

由二项式定理知，当时，不等式成立.

由此不等式有

.

证法三：同证法一求得及.

令.

因，因此.

从而

证法四：同证法一求得及.

下面用数学归纳法证明：.

当时，，因此，结论成立.

假设结论当时成立，即，则当时，

.

因，故.

从而.这就是说当时结论也成立.

综上对任何成立.

22、解：（Ⅰ）设椭圆方程为.

因焦点为，故半焦距.又右

准线的方程为，从而由已知

，

因此.

故所求椭圆方程为.

（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设，不失一般性，假设

，且.

又设在上的射影为，因椭圆的离心率，

从而有.

解得.因此

，

而

，

故为定值.