2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-江西卷

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

第Ⅰ卷

考生注意：

1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式

如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件，相互独立，那么 其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为

A．0 B．2 C．3 D．6

3．若函数的定义域是，则函数的定义域是

A．B．C．D．

4．若，则

A．B．C．D．

5．在数列中，，，则

A．B．C．D．

6．函数是

A．以为周期的偶函数 B．以为周期的奇函数

C．以为周期的偶函数 D．以为周期的奇函数

7．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是

A．B．C．D．

8．展开式中的常数项为

A．1 B．C．D．

9．设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是

A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直

B．过直线有且只有一个平面与平面垂直

C．与直线垂直的直线不可能与平面平行

D．与直线平行的平面不可能与平面垂直

10．函数在区间内的图象大致是

11．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为

A．B．C．D．

12．已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是

A．B．C．D．

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

文科数学

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上

13．不等式的解集为 ．

14．已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．

15．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦的长度分别等于、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 ．

16．如图，正六边形中，有下列四个命题：

A．

B．

C．

D．

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

17．已知，

（1）求的值；

（2）求函数的最大值．

18．因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．

（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；

（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.

19．等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列,，且

．

(1)求与；

(2)求和：．

20．如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．

（1）求证：⊥面；

（2）求二面角的大小．

21．已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．

22．已知抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交抛物线于点．

（1）证明三点共线；

（2）如果、、、四点共线，问：是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．

文科数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．B.因但。

2．.因，

3．B. 因为的定义域为[0，2]，所以对，但故。

4．函数为增函数

5．，，…，

6．

7..由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则

又,所以

8.

9..

10．..函数

11..一天显示的时间总共有种,和为23总共有4种,故所求概率为.

12．.当时，显然成立

当时，显然不成立；当显然成立；

当时，则两根为负，结论成立

故

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.14. 15. 5 16. A、B、D

13．依题意

14．

15. 易求得、到球心的距离分别为3、2，类比平面内圆的情形可知当、与球心共线时，取最大值5。

16., ∴对

取的中点,则, ∴对

设,则,而,∴错

又,∴对

∴真命题的代号是

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

17．解：（1）由

得，

于是=.

（2）因为

所以

的最大值为.

18．解：（1）令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件

（2）令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件

19．（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，

，

依题意有①

解得或(舍去)

故

（2）

∴

20．解 ：（1）证明：依题设，是的中位线，所以∥，

则∥平面，所以∥。

又是的中点，所以⊥，

则⊥。

因为⊥，⊥，

所以⊥面，则⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，连。

因为⊥平面，

根据三垂线定理知，⊥，

就是二面角的平面角。

作⊥于，则∥，则是的中点，则。

设，由得，，解得，

在中，，则，。

所以，故二面角为。

解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

所以

所以

所以平面

由∥得∥，故：平面

(2)由已知设

则

由与共线得:存在有得

同理:

设是平面的一个法向量,

则令得

又是平面的一个法量

所以二面角的大小为

21. 解：（1）因为

令得

由时，在根的左右的符号如下表所示

		极小值		极大值		极小值

所以的递增区间为

的递减区间为

（2）由（1）得到，

要使的图像与直线恰有两个交点，只要或，

即或.

22．（1）证明：设，

则直线的方程：

即：

因在上，所以①

又直线方程：

由得：

所以

同理，

所以直线的方程：

令得

将①代入上式得，即点在直线上

所以三点共线

（2）解：由已知共线，所以

以为直径的圆的方程：

由得

所以（舍去），

要使圆与抛物线有异于的交点，则

所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点

则，所以交点到的距离为