2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-重庆卷

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2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学试题卷（理工农医类）

数学试题卷(理工农医类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么　　　P(A+B)=P(A)+P(B)　

如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率　　

P_n(K)=^k_mP^k(1-P)^n-k

以R为半径的球的体积V=πR³.

1. 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
   （1）复数1+=
   1. 1+2i(B)1-2i(C)-1(D)3

(2)设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(3)圆O₁:x²+y²-2x=0和圆O₂:x²+y²-4y=0的位置关系是

(A)相离(B)相交(C)外切(D)内切 (4)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为

(A)(B)(C)(D)

(5)已知随机变量服从正态分布N(3,a²),则

(A)(B)(C)(D)

(6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x₁,x₂R有f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂)+1,,则下列说法一定正确的是

(A)f(x)为奇函数（B）f(x)为偶函数

(C)f(x)+1为奇函数（D）f(x)+1为偶函数

(7)若过两点P₁(-1,2),P₂(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为

(A)－(B) －(C)(D)

(8)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,则双曲线方程为

（A）－=1(B)

(C)(D)

(9)如题（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V₁为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V₂为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是

（A）V₁>(B)V₂<

（C）V₁>V₂（D）V₁< V₂

(10)函数f(x)=() 的值域是

（A）[-](B)[-1,0]

（C）[-]（D）[-]

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上

（11）设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(AB) = .

（12）已知函数f(x)=，在点x=0处连续，则.

(13)已知 (a>0) ，则.

(14)设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，a₁₂=-8,S₉=-9,则S₁₆= .

(15）直线l与圆x²+y²+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为 .

(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A_1、B₁、C₁上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共

有 种（用数字作答）.

三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）cotB+cot C的值.

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）

甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：

（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；

（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.

（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）

如题（19）图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使

,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：

（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.

（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）

　　　设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））

处的切线垂直于y轴.

（Ⅰ）用a分别表示b和c；

（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e^-x的单调区间.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

　　　如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若,求点P的坐标.

（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

　　　设各项均为正数的数列{a_n}满足.

（Ⅰ）若，求a₃，a₄，并猜想a₂₀₀₈的值（不需证明）；

（Ⅱ）记对n≥2恒成立，求a₂的值及数列{b_n}的通项公式.

数学试题（理工农医类）答案

一、选择题：每小题5分，满分50分.

（1）A（2）A（3）B（4）C（5）D（6）C

（7）A（8）C（9）D（10）B

二、填空题：每小题4分，满分24分.

（11）（12）（13）3（14）-72（15）x-y+1=0（16）216

三、解答题：满分76分.

（17）（本小题13分）

　　　解：（Ⅰ）由余弦定理得

＝

故

（Ⅱ）解法一：

　　　　　　＝

　　　　　　＝

　　　　　　由正弦定理和（Ⅰ）的结论得

　　　　　故

　　解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有

　　　　　　　＝

　　　　　故

　　　　　同理可得

　　　　　从而

（18）（本小题13分）

　　　解：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.

　　　　（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比

赛还未停止的概率为

　　　　（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且

　　　故有分布列

	2	3	4	5	6
P

　　　　　　　从而（局）.

（19）（本小题13分）

　　　解法一：

　　（Ⅰ）在答（19）图1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，从而

AD⊥DE.

在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从

而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.

下求DB之长.在答（19）图1中，由，得

又已知DE=3,从而

因

（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，

AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面

角.

在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,

因此

从而在Rt△DFE中，DE=3,

在

因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，的方向为x、

y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），

，E（0，3，0）.

过D作DF⊥CE,交CE的延长线

于F，连接AF.

设从而

，有

①

又由②

联立①、②，解得

因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以

因此所求二面角A-EC-B的大小为

(20)（本小题13分）

解：(Ⅰ)因为

又因为曲线通过点（0，2a+3）,

故

又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故

即-2a+b=0,因此b=2a.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

故当时，取得最小值-.

此时有

从而

所以

令，解得

当

当

当

由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.

(21)（本小题12分）

解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.

因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴

b=，

所以椭圆的方程为

(Ⅱ)由得

①

因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，

②

将①代入②，得

故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.

由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以

由方程组解得

即P点坐标为

(22)(本小题12分)

解：(Ⅰ)因

由此有，故猜想的通项为

（Ⅱ）令

由题设知x₁=1且

①

②

因②式对n=2成立，有

③

下用反证法证明：

由①得

因此数列是首项为，公比为的等比数列.故

④

又由①知

因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以

⑤

由④-⑤得

⑥

对n求和得

⑦

由题设知

即不等式

2^2k+1＜

对kN^*恒成立.但这是不可能的，矛盾.

因此x₂≤,结合③式知x₂=,因此a₂=2^*2=

将x₂=代入⑦式得

S_n=2－(nN*),

所以b_n=2^S_n=2^2－(nN*)