2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-北京卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）（北京卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知全集，集合，，那么集合等于（ ）

A．B．

C．D．

2．若，，，则（ ）

A．B．C．D．

3．“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）

A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

5．若实数满足则的最小值是（ ）

A．0B．1C．D．9

6．已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）

A．B．C．D．

7．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ）

A．B．C．D．

8．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）

A₁

A

B

C

D

M

N

P

B₁

C₁

D₁

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）（北京卷）

第Ⅱ卷（共110分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．

9．已知，其中是虚数单位，那么实数．

10．已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．

11．若展开式的各项系数之和为32，则 ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答）

12．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；

．（用数字作答）

13．已知函数，对于上的任意，有如下条件：

①；②；③．

其中能使恒成立的条件序号是 ．

14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，

表示非负实数的整数部分，例如，．

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题共13分）

已知函数（）的最小正周期为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．

16．（本小题共14分）

如图，在三棱锥中，，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

17．（本小题共13分）

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．

18．（本小题共13分）

已知函数，求导函数，并确定的单调区间．

19．（本小题共14分）

已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；

（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．

20．（本小题共13分）

对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列

．

对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；

又定义．

设是每项均为正整数的有穷数列，令．

（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）（北京卷）参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．D2．A3．B4．D5．B6．C7．C8．B

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．10．11．51012．

13．②14．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（共13分）

解：（Ⅰ）

．

因为函数的最小正周期为，且，

所以，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

因为，

所以，

所以，

因此，即的取值范围为．

16．（共14分）

解法一：

（Ⅰ）取中点，连结．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ），，

．

又，

．

又，即，且，

平面．

取中点．连结．

，．

是在平面内的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小为．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

过作，垂足为．

平面平面，

平面．

的长即为点到平面的距离．

由（Ⅰ）知，又，且，

平面．

平面，

．

在中，，，

．

．

点到平面的距离为．

解法二：

（Ⅰ），，

．

又，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则．

设．

，

，．

取中点，连结．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．

二面角的大小为．

（Ⅲ），

在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．

如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．

，

点的坐标为．

．

点到平面的距离为．

17．（共13分）

解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，

即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．

（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．

（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，

则．

所以，的分布列是

	1	3

18．（共13分）

解：

．

令，得．

当，即时，的变化情况如下表：

		0

当，即时，的变化情况如下表：

			0

所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减．

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．

当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．

19．（共14分）

解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．

因为四边形为菱形，所以．

于是可设直线的方程为．

由得．

因为在椭圆上，

所以，解得．

设两点坐标分别为，

则，，，．

所以．

所以的中点坐标为．

由四边形为菱形可知，点在直线上，

所以，解得．

所以直线的方程为，即．

（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，

所以．

所以菱形的面积．

由（Ⅰ）可得，

所以．

所以当时，菱形的面积取得最大值．

20．（共13分）

（Ⅰ）解：，

，

；

，

．

（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，

则为，，，，，

从而

．

又，

所以

，

故．

（Ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列．

当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，

则．

当存在，使得时，若记数列为，

则．

所以．

从而对于任意给定的数列，由

可知．

又由（Ⅱ）可知，所以．

即对于，要么有，要么有．

因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有．

即存在正整数，当时，．