2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖南卷

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数 学(理工农医类)

1. 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
   1．复数等于
   A.8B.－8C.8iD.－8i (D)
   2．“|x－1|＜2成立”是“x（x－3）＜0成立”的
   A．充分而不必要条件B.必要不充分条件
   C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（B）
   3.已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是
   A.2B.5C.6D.8(C)
   4.设随机变量服从正态分布N(2,9),若P(＞c+1)=P(＜c－,则c=
   A.1B.2C.3D.4(B)
   5.设有直线m、n和平面、。下列四个命题中，正确的是
   A.若m∥,n∥,则m∥n
   B.若m,n,m∥,n∥,则∥
   C.若，m,则m
   D.若，m，m,则m∥（D）
   6.函数f(x)=sin²x+在区间上的最大值是
   A.1B.C.D.1+(C)
   7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与
   A.反向平行B.同向平行
   C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A)
   8.若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是
   A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D. (5,+)(B)
   9.长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA₁=1, 则顶点A、B间的球面距离是
   1. 2B.C.D.(C)

10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［］=1），对于给定的nN^*,定义，x,则当x时，函数的值域是

A.B.

C.D.(D)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。

11..

12.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，右准线为l，离心率e=过顶点A(0,b)作AMl,垂足为M，则直线FM的斜率等于.

13.设函数y=f(x)存在反函数y=f^－1（x），且函数y=x－f(x)的图象过点（1，2），则函数

y=f^－1(x)－x的图象一定过点(－1,2).

14.已知函数f(x)＝

（1）若a＞0,则f(x)的定义域是;

(2)若f(x)在区间上是减函数，则实数a的取值范围是.

15. 对有n(n≥4)个元素的总体｛1，2，3，…，n｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1，2，…，m｝和｛m+1，m+2，…，n｝(m是给定的正整数，且2≤m≤n－2)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用P_ij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P_1n=；所有P_if(1≤i＜j≤的和等于6.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约。乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：

（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;

（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.

解 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知A，B，C相互独立，且

P（A）＝P（B）＝P（C）＝.

（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.

＝

＝

=

=

所以，的分布列是

	0	1	2	3
P

的期望

17.（本小题满分12分）

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

解 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形。因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB。又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE。而AB=A，因此BE⊥平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF。过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.

则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，

PF⊥HG.

所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.

在等腰Rt△PAF中，

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

解法二 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系。则相关各点的坐标分别是

A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），E(1,,0)

（Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE⊥平面PAB.

又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)易知

设是平面PBE的一个法向量，则由得

所以

设是平面PAD的一个法向量，则由得

所以故可取

于是，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

18.（本小题满分12分）

数列

(Ⅰ)求并求数列的通项公式；

(Ⅱ)设证明：当

解 (Ⅰ)因为

一般地，当时，

＝，即

所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此

当时，

所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此

故数列的通项公式为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

①

②

①－②得，

所以

要证明当时，成立，只需证明当时，成立.

证法一

(1)当n= 6时，成立.

(2)假设当时不等式成立，即

则当n=k+1时，

由(1)、(2)所述，当n≥6时，，即当n≥6时，

证法二

令，则

所以当时，.因此当时，

于是当时，

综上所述，当时，

19.（本小题满分13分）

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.。点E正北55海里处有一个雷达观测站A。.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.

（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

解 （I）如图，AB=40，AC=10，

由于<<，所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行驶速度为（海里/小时）.

（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是

B（x₁，y₁）,C（x₂，y₂），BC与x轴的交点为D.

由题设有，x₁=y₁=AB=40，

,

所以过点B、C的直线l的斜率k=,

直线l的方程为y=2x－40.

又点E（0，－55）到直线l的距离d=

所以船会进入警戒水域.

解法二 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，

===.

从而

在△ABQ中，由正弦定理得，

AQ=

由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE－AQ=15.

过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.

在Rt△中，

PE=QE·sin

=

所以船会进入警戒水域.

20.（本小题满分13分）

若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x₀>2.

（Ⅰ）证明：点P（x₀,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；

（Ⅱ）试问：点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，请说明理由.

解（Ⅰ）设AB为点P（x₀,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是

（x₁,y₁）、（x₂,y₂）（x₁x₂）,则y²₁=4x_1,y²₂=4x₂,

两式相减得（y₁+y₂）（y₁－y₂）=4（x₁－x₂）.因为x₁x₂,所以y₁+y₂0.

设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x_m,y_m）,则

k=.

从而AB的垂直平分线l的方程为

又点P（x₀,0）在直线l上，所以－y_m=

而于是

故点P（x₀,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x₀－2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，

整理得（·）

则是方程（·）的两个实根，且

设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则

因为0<<4x_m=4(x₀－2) =4x₀－8,于是设t=,则t(0,4x₀－8).

记l²=g(t)=－[t－2(x₀－3)]²+4(x₀－1)^2.

若x₀>3,则2(x₀－3)(0, 4x₀－8),所以当t=2(x₀－3),即=2(x₀－3)时,

l有最大值2(x₀－1).

若20<3,则2(x₀－3)0,g(t)在区间（0，4x₀－8）上是减函数，所以

0<l²<16(x₀－2),l不存在最大值.

综上所述，当x₀>3时，点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x₀－1）；当2< x₀3时，点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.

21.（本小题满分13分）

已知函数f(x)=ln²(1+x)－.

（Ⅰ）求函数f(x) 的单调区间;

（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.

求的最大值.

解 （Ⅰ）函数f(x)的定义域是，

设则

令则

当时，在（－1，0）上为增函数，

当x＞0时，在上为减函数.

所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.

于是当时，

当x＞0时，

所以，当时，在（－1，0）上为增函数.

当x＞0时，在上为减函数.

故函数f(x)的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为.

（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，

设则

由（Ⅰ）知，即

所以于是G(x)在上为减函数.

故函数G（x）在上的最小值为

所以a的最大值为