2009年全国高考理科数学试题及答案-上海卷

2009年全国普通高等学校招生统一考试

上海　数学试卷（理工农医类）

考生注意：

1. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.
2. 本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .

一．填空题　（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分

1. 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (i是虚数单位)，则其共轭复数=__________________ .
2. 已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________ .
3. 若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是________________________ .

4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________________________ .

5．如图，若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.

6．函数的最小值是_____________________ .

7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望=____________（结果用最简分数表示）.

8. 已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满足的等量关系是___________.

9. 已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________.

10. 在极坐标系中，由三条直线，，围成图形的面积是________.

11.当，不等式成立，则实数的取值范围是_______________.

12．已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差.若，则当=___________时，.

13. 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）____为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短

14. 将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的最大值为__________

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。

15.是“实系数一元二次方程有虚根”的

（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

16. 若事件与相互独立，且，则的值等于

（A）（B）（C）（D）

17. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是

（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0

（C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3

18. 过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足，则直线AB有（ ）

（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条

三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤

19. （本题满分14分）

如图，在直三棱柱中，,,求二面角的大小。

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

有时可用函数

描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。

（1）证明：当时，掌握程度的增长量总是下降；

（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121], (121,127], (127,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。

21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。

已知双曲线设过点的直线的方向向量

（1）当直线与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线的方程及与m的距离；

（2）证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线的距离为。

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

已知函数是的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。

1. 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；
2. 求所有满足“2和性质”的一次函数；
3. 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。

1. 若，是否存在，有说明理由；
2. 找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；
3. 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。

上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准

说明

1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

解答

一、（第一题至第14题）

1. i 2. 3.4.

5 6. 1-7.8.

9. 3 10. 11. 12. 14

13.14.

二．（第15题至第18题）

三. （第19题至第23题）

19.解：

如图，建立空间直角坐标系。

则 A，C，A₁，

B₁，C₁， …… 2分

设AC的中点为M，BMAC，BMCC₁，

BM平面，即=（1，1，0）是平面的一个法向量。……5分

设平面A₁B₁C的一个法向量是=，

=，=， …… 7分

==0，=，令，解得。

=， …… 10分

设法向量与的夹角为，二面角。

，解得

∴二面角的大小为 …… 14分

20. 证明：

（1）当时，

而当时，函数单调递增，且……3分

故单调递减。

所以，当，掌握程度的增长量总是下降 ……6分

解：

（2）由题意可知……9分

整理得……13分

解得……14分

由此可知，该学科是乙学科

21.解：

（1）双曲线C的渐近线，即 …… 2分

直线的方程 …… 6分

直线与m的距离 …… 8分

（2）证法一：

设过原点且平行于的直线

则直线与的距离，

当时，。 …… 12分

又双曲线C的渐近线为，

双曲线C的右支在直线的右下方，

双曲线C右支上的任意点到直线的距离大于。

故在双曲线C的右支上不存在点Q到到直线的距离为 …… 16分

证法二：假设双曲线C右支上存在点Q到直线的距离为，

则

由（1）得， …… 11分

设

当时，：

…… 13分

将代入（2）得， （*）

，

∴方程（*）不存在正根，即假设不成立，

故在双曲线C的右支上不存在点Q到直线的距离为 …… 16分

22.解：（1）函数的反函数是，

，

而，其反函数为

故函数不满足“1和性质” …… 4分

（2）设函数满足“2和性质”，。

, …… 6分

而，得反函数， …… 8分

由“2和性质”定义可知对恒成立。

即所求一次函数. ……10分

（3）设且点图像上，

则在函数图像上，

故可得， ……12分

令，. ……14分

综上所述，此时其反函数是，

而故互为反函数。 ……16分

23． 解：

（1）由， ……2分

整理后，可得，，为整数，

不存在，使等式成立。 ……5分

（2）解法一：若即， （*）

（ⅰ）若，

当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。 ……7分

（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得（*）式等号右边的极限只有当时，才可能等于1，此时等号左边是常数，∴，矛盾。

综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。

……10分

解法二：设，若，对都成立，且为等比数列，

则，对都成立，即，

，对都成立，

……7分

（ⅰ）若，。

（ⅱ）若，则（常数），即，则，矛盾

综上所述，，使对一切，……10分

（3），

设

，

，，……13分

取，……15分

由二项展开式可得正整数，使得，

存在整数满足要求。

故当且仅当，命题成立。 ……18分

说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）

若为偶数，则为偶数，但为奇数。

故此等式不成立，一定为奇数。 ……1分

当时，则，

而

当为偶数时，存在，使成立， ……1分

当时，则，

也即，，

由已证可知，当为偶数即为奇数时，存在，成立，……2分

当时，则，

也即，而不是5的倍数，当所要求的不存在，

故不是所有奇数都成立。 ……2分