2009年全国高考理科数学试题及答案-海南卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）

数学（理工农医类）

1. 选择题（每小题5分，共60分）
   （1）已知集合M={x|－3
2. {x|－5＜x＜5} (B) {x|－3＜x＜5}

(C) {x|－5＜x≤5} (D) {x|－3＜x≤5}

【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解.

【答案】B

（2）已知复数，那么=

（A）（B）（C）（D）

【解析】＝

【答案】D

（3）平面向量a与b的夹角为，，则

（A）(B) (C) 4 (D)12

【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|²＝a²＋4a·b＋4b²＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12

∴

【答案】B

（4）已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为

（A）(B)

(C)(D)

【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.

【答案】B

（5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有

（A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种

【解析】直接法：一男两女,有C₅¹C₄²＝5×6＝30种,两男一女,有C₅²C₄¹＝10×4＝40种,共计70种

间接法：任意选取C₉³＝84种,其中都是男医生有C₅³＝10种,都是女医生有C₄¹＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种.

【答案】A

（6）设等比数列{}的前n 项和为，若=3 ，则=

（A） 2 （B） （C）（D）3

【解析】设公比为q ,则＝1＋q³＝3 q³＝2

于是

【答案】B

（7）曲线y=在点（1，－1）处的切线方程为

（A）y=x－2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x－3 (D)y=－2x+1

【解析】y’＝,当x＝1时切线斜率为k＝－2

【答案】D

(8)已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=

（A）(B)(C)－(D)

【解析】由图象可得最小正周期为

于是f(0)＝f(),注意到与关于对称

所以f()＝－f()＝

【答案】B

（9）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是

（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）

【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)

∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性

得|2x－1|＜解得＜x＜

【答案】A

（10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据，，。。。，其中收入记为

正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的

（A）A>0,V=S－T

(B) A<0,V=S－T

(C) A>0, V=S+T

（D）A<0, V=S+T

【解析】月总收入为S,因此A＞0时归入S,判断框内填A＞0

支出T为负数,因此月盈利V＝S＋T

【答案】C

（11）正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为

（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2

【解析】由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积

在底面正六边形ABCDER中

BH＝ABtan30°＝AB

而BD＝AB

故DH＝2BH

于是V_D－GAC＝2V_B－GAC＝2V_P－GAC

【答案】C

（12）若满足2x+=5,满足2x+2(x－1)=5,+＝

（A） (B)3 (C) (D)4

【解析】由题意①

②

所以,

即2

令2x₁＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log₂(2t－2)＝2＋2log₂(t－1)

∴5－2t＝2log₂(t－1)与②式比较得t＝x₂

于是2x₁＝7－2x₂

【答案】C

（13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为h.

【解析】＝1013

【答案】1013

（14）等差数列的前项和为，且则

【解析】∵S_n＝na₁＋n(n－1)d

∴S₅＝5a₁＋10d,S₃＝3a₁＋3d

∴6S₅－5S₃＝30a₁＋60d－(15a₁＋15d)＝15a₁＋45d＝15(a₁＋3d)＝15a₄

【答案】

（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

则该几何体的体积为

【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,

体积等于×2×4×3＝4

【答案】4

（16）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为。

【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),

于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4

而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5

两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.

【答案】9

（17）（本小题满分12分）

如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）

(17)解:

在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,

所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，

故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，        ……5分

在△ABC中，

即AB=

因此，BD=

故B，D的距离约为0.33km。  ……12分

（18）（本小题满分12分）

如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；

（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

（18）（I）解法一：

取CD的中点G，连接MG，NG。

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，

则MG⊥CD，MG=2，NG=.

因为平面ABCD⊥平面DCED，

所以MG⊥平面DCEF，

可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=，所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 ……6分

解法二：

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.

则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(－1,1,2).

又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，

可得

所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为

cos· ……6分

(Ⅱ)假设直线ME与BN共面， ……8分

则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN

由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。

又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB//EN。

又AB//CD//EF，

所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分

（19）（本小题满分12分）

某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。

（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；

（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）

（19）解：

（Ⅰ）依题意X的分列为

	0	1	2	3	4
P

………………6分

（Ⅱ）设A₁表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.

B₁表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.

依题意知P（A₁）=P(B₁)=0.1，P（A₂）=P(B₂)=0.3，

,

所求的概率为

………12分

（20）（本小题满分12分）

已知，椭圆C过点A，两个焦点为（－1，0），（1，0）。

1. 求椭圆C的方程；
2. E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

（20）解：

（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）

所以椭圆方程为。 ……………4分

（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得

设,,因为点在椭圆上，所以

………8分

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得

所以直线EF的斜率

即直线EF的斜率为定值，其值为。 ……12分

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。

(21)解：(1)的定义域为。

2分

（i）若即,则

故在单调增加。

(ii)若,而,故,则当时，;

当及时，

故在单调减少，在单调增加。

(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.

(II)考虑函数

则

由于1，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有·········12分

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明讲

已知ABC 中，AB=AC, D是ABC外接圆劣弧上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。

1. 求证：AD的延长线平分CDE；
2. 若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC外接圆的面积。

（22）解：

（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点

∵A，B，C，D四点共圆，

∴∠CDF=∠ABC

又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,

且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,

对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,

即AD的延长线平分∠CDE.

（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.

连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=15⁰, ∠ACB=75⁰,

∴∠OCH=60⁰.

设圆半径为r,则r+r=2+,a得r=2,外接圆的面积为4。

（23）（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。

（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；

（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。

（23）解：

（Ⅰ）由

从而C的直角坐标方程为

（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）

N点的直角坐标为

所以P点的直角坐标为

所以直线OP的极坐标方程为

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数。

（1）若解不等式；

（2）如果,,求的取值范围。

（24）解：

（Ⅰ）当a=－1时，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳.

由f(x)≥3得

︱x－1︳+︱x+1|≥3

x≤－1时，不等式化为

1－x－1－x≥3 即－2x≥3

不等式组的解集为[，+∞),

综上得，的解集为……5分

（Ⅱ）若，不满足题设条件

若，的最小值为

若，的最小值为

所以的充要条件是|-1|≥2，从而的取值范围为