2009年全国高考理科数学试题及答案-陕西卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷)

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为

（A）[0，1） （B）（0，1） （C）[0，1] （D）（-1，0]

答案：A

解析：不等式的解集是，而函数的定义域为，所以的交集是[0，1），故选择A

2.已知z是纯虚数,是实数,那么z等于

（A）2i (B)i (C)-i (D)-2i

答案：D

解析：代入法最简单

3.函数的反函数为

（A）(B)

（C）(D)

答案：B

4.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为

（A） （B）2 （C）（D）2

答案：D

5.若,则的值为

（A）（B）（C）(D)

答案：A

6.若,则的值为

（A）2 （B）0 （C）(D)

答案：C

解析：则都能表示出来，则等于，再利用倒序相加法求得。

7.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

答案：C

解析：说明

8.在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于

（A）（B）（C）(D)

答案：A

9．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为

1. 300 (B)216 (C) 180 (D)162

答案：C

解析：分类讨论思想：

第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为

第二类：取0，此时2和4只能取一个，0还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为

共有，180个数

10．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

1. (B)(C)(D)

答案：B

解析：正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高时正方体高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，

11．若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是

1. （，2 ） (B) （，2 ） (C) (D)

答案：B

解析：根据图像判断，目标函数需要和，平行，

由图像知函数a的取值范围是（，2 ）

12．定义在R上的偶函数满足：对任意

的，有.

则当时,有

1. (B)

(C) (C)(D)

答案：C

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修选修Ⅱ）(陕西卷)

第Ⅱ卷

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题4分，共16分).

13．设等差数列的前n项和为,若,则.

答案：1

14．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。

答案：8

15．如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B

是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则=.

答案：

16．设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为.

答案：-2

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）

17．（本小题满分12分）

已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.

(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域.

17、解（1）由最低点为得A=2.

由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，

由点在图像上的

故

又

（2）

当=，即时，取得最大值2；当

即时，取得最小值-1，故的值域为[-1,2]

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=60.

(Ⅰ)证明：；

（Ⅱ）求二面角A——B的大小。

18.（本小题满分12分）

解答一（1）证：三棱柱为直三棱柱，

在中，,由正弦定理

,又

（2）解如图，作交于点D点，连结BD，

由三垂线定理知

为二面角的平面角

在

解答二（1）证三棱柱为直三棱柱，

，，

由正弦定理

如图，建立空间直角坐标系，

则

(2) 解，如图可取为平面的法向量

设平面的法向量为，

则

不妨取

19．(本小题满分12分)

某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下：

	0	1	2	3
p	0.1	0.3	2a	a

(Ⅰ)求a的值和的数学期望；

（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

19题，解（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解答a=0.2

的概率分布为

	0	1	2	3
P	0.1	0.3	0.4	0.2

（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件表示“两个月内每月均被投诉12次”

则由事件的独立性得

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17

20．（本小题满分12分）

已知函数，其中

若在x=1处取得极值，求a的值；

求的单调区间；

（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围。

20. 解（Ⅰ）

∵在x=1处取得极值，∴解得

（Ⅱ）

∵∴

①当时，在区间∴的单调增区间为

②当时，

由

∴

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知，

当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值

综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是

21．（本小题满分12分）

已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。

（I）求双曲线C的方程；

(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。

21．（本小题满分14分）

已知双曲线C的方程为

离心率顶点到渐近线的距离为

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取值范围.

解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线

∴

由得∴双曲线C的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为

设

由得P点的坐标为

将P点坐标代入化简得

设∠AOB

又

记

由

当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值

∴△AOB面积的取值范围是

解答二（Ⅰ）同解答一

（Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知

由{得A点的坐标为

由{得B点的坐标为

由得P点的坐标为

将P点坐标代入

设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.

=

以下同解答一.

22．（本小题满分12分）

已知数列满足，.

猜想数列的单调性，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：。

22题

证（1）由

由猜想：数列是递减数列

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即

易知，那么

=

即

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立

（2）当n=1时，，结论成立

当时，易知