2010年全国高考文科数学试题及答案-上海

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

数学（文科）

考生注意：

1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码

2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1.已知集合，，则。

2.不等式的解集是 。

3.行列式的值是 。

4.若复数（为虚数单位），则。

5.将一个总体分为、 、三层，其个体数之比为5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从中抽取 个个体。

6.已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 。

7.圆的圆心到直线的距离。

8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则点的轨迹方程为 。

9.函数的反函数的图像与轴的交点坐标是 。

10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为（结果用最简分数表示）。

11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。

12.在行列矩阵中，记位于第行第列的数为。当时，。

13.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是 。

14.将直线、、（，）围成的三角形面积记为，则。

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15.满足线性约束条件的目标函数的最大值是 [答]（ ）

（A）1. （B）. （C）2. （D）3.

16.“”是“”成立的 [答]（ ）

（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.

（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.

17.若是方程式的解，则属于区间 [答]（ ）

（A）（0，1） （B）（1，1.25） （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）

18.若△的三个内角满足，则△

（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.

（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19.（本题满分12分）

已知，化简：.

20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.

1. 当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;
2. 若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.

21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。

已知数列的前项和为，且，

1. 证明：是等比数列；
2. 求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

若实数、、满足，则称比接近.

（1）若比3接近0，求的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；

（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.

23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.

（1）若点满足，求点的坐标；

（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；

（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.

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2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

数学（文科）参考答案

一、填空题

1、2；2；（-4，2）；3、0.5；4、6-2i; 5、20；6、96；7、3；8、y²=8x;9、(0,-2);10、11、；

12、45；13、；14、

二、选择题15、C；16、A 17、C；18、C；

三、解答题

19、

20、(1)圆柱体的高为，故

当时，；

（2）略；

21、解：(1)由（1）

可得：，即。

同时（2）

从而由可得：

即：，从而为等比数列，首项a，公比为，通项公式为，从而

（2）即，，，

解得，从而。

22、（1）解：由题意可得

即，解得

（2）证一：

而

从而

即命题得证。

证法二：等价于证明，

因为，于是待证不等式直接去掉绝对值符号即可，变形为，于是等价于，因为，且都是整数，所以该式显然成立。

（3）根据定义知道sinx≠0，那么sinx>0时，f(x)=1-sinx，sinx<0时，f(x)=1+sinx，于是函数在x∈(2kπ, π+2kπ)(k∈Z)时，sinx>0时，f(x)=1-sinx；x∈(-π+2kπ, 2kπ)(k∈Z)时，sinx<0时，f(x)=1+sinx，

为偶函数，最小正周期为，最小值为0，在上单调递减，在上单调递增。

23、（1）解：。

（2）证：设，则由

可得，又，故可得

而由题意知，所以，即

即线段的中点在直线上，也即直线与的交点为线段的中点。

（3）椭圆方程为，从而线段的中点为，

若，则为平行四边形，从而线段与线段互相平分，故直线的斜率存在，可设为，直线为。

设，则由

可得

可得

所以直线方程为。