2010年全国高考文科数学试题及答案-福建

2010年高考试题数学试题（文史类）-福建卷

第I卷（选择题 共60分）

1. 若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于
   A {x | 2＜x≤3} B {x | x≥1} C {x | 2≤x＜3} D {x | x＞2}
2. 计算1－2sin²22.5°的结果等于
   A.1/2 B. /2 C/3 D/2
3. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积等于

1. B.2

C.2D.6

1. i是虚数单位，（（1+i）/(1-i)）⁴等于
   A.i B.-i C.1 D.-1
2. 若x，y∈R，且，则z=x+2y的最小值等于
   A.2 B.3 C.5 D.9
3. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于
   A.2 B.3 C.4 D.5
4. 函数f（x）=的零点个数为

A.2 B.2 C.1 D.0

8.若向量a=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“| a |=5”的

A.充分而不必要 B.必要而不充分

C充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是

A.91.5和91.5 B.91.5和92

C 91和91.5 D.92和92

10.将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图像向左平移π/2个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能等于

A.4 B.6 C.8 D.12

11.若点O和点F分别为椭圆x²/4 +y²/3 =1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为

A.2 B.3 C.6 D.8

12.设非空集合S=={x | m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x²∈S . 给出如下三个命题：

①若m=1，则S={1}；②若m=－1/2 ，则1/4 ≤ l ≤ 1；③ l=1/2，则－/2≤m≤0

其中正确命题的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡的相应位置.

13.若双曲线x²/ 4－y²/ b²=1 (b＞0) 的渐近线方程为y=±1/2 x ，则b等于.

14.将容量为n的样本中的数据分成6组. 绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频率之和等于27，则n等于.

15. 对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包涵Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：

其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）.

16.观察下列等式：

① cos2α=2 cos²α－1；

② cos 4α=8 cos⁴ α－8 cos²α+1；

③ cos 6α=32 cos⁶α－48 cos⁴ α＋18 cos²α－1；

④ cos 8α= 128 cos⁸α－256cos⁶α＋160 cos⁴ α－32 cos²α＋1；

⑤ cos 10α=mcos¹⁰α－1280 cos⁸α＋1120cos⁶α＋ncos⁴ α＋p cos²α－1；

可以推测，m－n+p=.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

数列{a_n}中，a₁=1/3，前n项和S_n满足S_n+1－S_n =（1 / 3）^{n + 1}(n∈)N^*.

（I）求数列{a_n}的通项公式a_n以及前n项和S_n

（II）若S₁，t（S₁+ S ₂），3（S₂+ S ₃）成等差数列，求实数t的值.

18.（本小题满分12分）

设平面向量a_m=（m，1），b_n=（2，n），其中m，n∈{1,2,3,4}.

（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；

（II）记“使得a_m⊥（a_m－b_n）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率.

19.（本小题满分12分）

已知抛物线C的方程C：y² =2 p x（p＞0）过点A（1，-2）.

（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

20.（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，H分别是棱A₁B₁，D₁C₁上的点（点E与B₁不重合），且EH∥A₁D₁. 过EH的平面与棱BB₁，CC₁相交，交点分别为F，G。

1. 证明：AD∥平面EFGH；
2. 设AB=2AA₁ =2 a .在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁内随机选取一点。记该点取自几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A₁B₁上运动且满足EF=a时，求p的最小值.

21. （本小题满分12分）

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.

1. 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
2. 为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
3. 是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分14分）

已知函数的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为.

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）设是上的增函数.

（ⅰ）求实数m的最大值；

（ⅱ）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C

7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D

填空题：本大题考查基础知识和基本运算. 每小题4分，满分16分.

13.1 14.60 15.②③ 16.962

三、 解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想.满分12分.

解：(Ⅰ)由S n+1 －S n =（）n + 1得 (n∈N *)；

又，故(n∈N *)

从而(n∈N *).

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，，

从而由S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列可得：

，解得t=2.

18.本小题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、必然与或然思想.满分12分.

解：(Ⅰ)有序数组（m,n）的吧所有可能结果为：

（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个.

(Ⅱ)由得，即.

由于｛1,2,3,4｝，故事件A包含的基本条件为（2,1）和（3,4），共2个.又基本事件的总数为16，故所求的概率.

19.本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分12分.

解：（Ⅰ）将（1,-2）代入，所以.

故所求的抛物线C的方程为，其准线方程为.

（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y=－2x + t ，

由，得y2 ＋2 y －2 t=0.

因为直线l与抛物线C有公共点，所以得Δ=4+8 t，解得t ≥－1/2 .

另一方面，由直线OA与l的距离d=，可得=，解得t=±1.

因为－1∉[-,＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.

20.本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分

解法一：

1. 证明：在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥A₁D₁
   又∵EH∥A₁D₁，∴AD∥EH.
   ∵AD￠平面EFGH
   EH平面EFGH
   ∴AD//平面EFGH.
2. 设BC=b，则长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的体积V=AB·AD·AA₁=2a²b，

几何体EB₁F-HC₁G的体积V₁=（1/2EB₁·B₁F）·B₁C₁=b/2·EB₁·B₁F

∵EB₁² + B₁F²=a²

∴EB₁² + B₁F²≤ （EB₁² + B₁F²）/2 = a²/ 2,当且仅当EB₁=B₁F=/2 a时等号成立

从而V₁ ≤ a²b /4 .

故 p=1-V₁/V ≥7/8

解法二：

1. 同解法一
2. 设BC=b，则长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的体积V=AB·AD·AA₁=2a²b ，

几何体EB₁F-HC₁G的体积

V₁=（1/2 EB₁·B₁F）·B₁C₁ =b/2 EB₁·B₁F

设∠B₁EF=θ（0°≤θ≤90°），则EB₁ = a cosθ，B₁F =a sinθ

故EB₁·B₁F = a²sinθcosθ=，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.

从而

∴p=1- V₁/V≥=7/8，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.

所以，p的最小值等于7/8

21.本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识，考察推断论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分12分.

解法一：（I）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则

S=

=

=

故t=1/3时，S_min=，v==30

即，小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小

（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇

由题意可知，（vt）²=20² +（30 t）²-2·20·30t·cos（90°-30°），

化简得：v²=+900 =400+675

由于0＜t≤1/2，即1/t ≥2,

所以当=2时，

取得最小值，

即小艇航行速度的最小值为海里/小时。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，设，

于是。（*）

小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根，即：

解得。

所以的取值范围是。

解法二：

（Ⅰ）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。

设小艇与轮船在C处相遇。

在中，，

。

又,

此时，轮船航行时间，。

即，小艇以海里/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小。

（Ⅱ）同解法一

（Ⅲ）同解法一

1. 本小题主要考察函数、导数等基础知识，考察推力论证能力、抽象概况能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想。满分14分。

解法一：

（Ⅰ）由及题设得即。

（Ⅱ）（ⅰ）由

得。

是上的增函数，在上恒成立，

即在上恒成立。

设。

，

即不等式在上恒成立

当时，不等式在上恒成立。

当时，设，

因为，所以函数在上单调递增，

因此。

，即。

又，故。

综上，的最大值为3。

（ⅱ）由（ⅰ）得，其图像关于点成中心对称。

证明如下：

因此，。

上式表明，若点为函数在图像上的任意一点，则点也一定在函数的图像上。而线段中点恒为点，由此即知函数的图像关于点成中心对称。

这也就表明，存在点，使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）（ⅰ）由

得。

是上的增函数，在上恒成立，

即在上恒成立。

设。

，

即不等式在上恒成立。

所以在上恒成立。

令，，可得，故，即的最大值为3.

（ⅱ）由（ⅰ）得，

将函数的图像向左平移1个长度单位，再向下平移个长度单位，所得图像相应的函数解析式为，。

由于，所以为奇函数，故的图像关于坐标原点成中心对称。

由此即得，函数的图像关于点成中心对称。

这也表明，存在点，是得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。