2010年全国高考文科数学试题及答案-浙江

2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（文科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式：

如果事件互斥，那么 柱体的体积公式 [

如果事件相互独立，那么其中表示柱体的底面积，表示柱体的高

锥体的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是，

那么次独立重复试验中事件恰好发生 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高

次的概率

球的表面积公式

台体的体积公式

球的体积公式

其中分别表示台体的上、下底面积，

表示台体的高 其中R表示球的半径

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设

（A）（B）

（C）（D）

（2）已知函数

（A）0（B）1（C）2（D）3

（3）设为虚数单位，则

（A）（B）（C）（D）

（4）某程度框图如图所示，若输出的，则判断框内为

（A）（B）

（C）（D）

（5）设为等比数列的前n项和，

（A）－11（B）－8（C）5（D）11

（6）设则“xsin²x<1”是“xsinx<1”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（7）若实数x、y满足不等式组则x+y的最大值为

（A）9（B）

（C）1（D）

（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是

（A）（B）

（C）（D）

（9）已知x是函数的一个零点，若，则

（A）（B）

（C）（D）

（10）设O为坐标原点，F₁，F₂是双曲线－＝１（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F₁P F₂=60°，=a，则该双曲线的渐近线方程为

（A）x±y=0（B）x±y=0

(C)x±y=0(D)x±y=0

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

（11）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是　　　　　，　　　　.

（12）函数f(x)=sin²(2x－)的最小正周期是　　　　　.

（13）已知平面向量α，β，＝1,=2，α⊥（α－2β），则的值是　　　.

（14）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，

那么位于表中的第n行第n+1列的数是　　　　　　　　　　.

（15）若正实数x,y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是　　　　　　　.

（16）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六份递增x%,八月份销售额比七月份递增x％,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是　　　　.

（17）在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点.在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为　　　　　　　　.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（18）（本题满分13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝（a²＋b²－c²）.

（Ⅰ）求角C的大小;

（Ⅱ）求sinA＋sinB的最大值.

（19）（本题满分14分）设a₁，d为实数，首项为a₁，z差为d的等差数{a_n}的前n项和为S_n，满足S₂S₆＋15＝0.

（Ⅰ）若S₅＝S.求S_n及a₁;

（Ⅱ）求d的取值范围.

（20）（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°，E为线段AB的中线，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点.

（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE;

（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面

A′DE所成角的余弦值.

（21）（本题满分15分）已知函数f（x）＝（－a）

（a－b）（a，b∈R，a<b）.

（Ⅰ）当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程;

（Ⅱ）设x₁，x₂是f（x）的两个极值点，x₃是f（x）的一个零点，且x₃≠x₁，x₃≠x₂.

证明：存在实数x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按某种顺序排列后构成等差数列，并求x₄.

（22）（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线C：

y²＝2px（p＞0）的焦点F在直线l：x－my－＝0上.

（Ⅰ）若m＝2，求抛物线C的方程;

（Ⅱ）设直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的准线的垂直，垂足为A₁，B₁，△AA₁F，△BB₁F的重心分别为G，H.求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

（1）D（2）B（3）C（4）A（5）A

（6）B（7）A（8）B（9）B（10）D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。

（11）45，46（12）(13)

（14）n²+n（15）18（16）20（17）

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

（18）本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ)解：由题意可知

absinC=,2abcosC. 所以tanC=. 因为0<C<， 所以C=.

（Ⅱ)解：由已知sinA+sinB=sinA+sin(-C-A)=sinA+sin(-A)

=sinA+A+sinA=sin(A+)≤.

当△ABC为正三角形时取等号，

所以sinA+sinB的最大值是.

(19)本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。满分14分。

(Ⅰ)解：由题意知S₀=-3,

a=S-S=-8

所以

解得a₁=7

所以S=-3,a₁=7

(Ⅱ)解：因为SS+15=0,

所以(5a₁+10d)(6a₁+15d)+15=0,

即2a₁²+9da₁+10d²+1=0.

故(4a₁+9d)²=d²-8.

所以d²≥8.[

故d的取值范围为d≤-2或d≥2.

(20)本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。

(Ⅰ)证明：取AD的中点G，连结GF，CE，由条件易知

FG∥CD，FG=CD.

BE∥CD,BE=CD.

所以FG∥BE,FG=BE.

故四边形BEGF为平行四边形,

所以BF∥平面A′DE.

（Ⅱ)解：在平行四边形ABCD中，设BC=a,

则AB-CD=2A,AD=AE=EB=a,

连CE.

因为∠ABC=120°,

在△BCE中，可得CE=a,

在△ADE中，可得DE=a,

在△CDE中，因为CD²=CE²+DE²，所以CE⊥DE,

在正三角形ADE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE.

由平面ADE平面BCD,

可知AM⊥平面BCD,A′M⊥CE.

取A′E的中点N，连线NM、NF，

所以NF⊥DE,NF⊥A′M.

因为DE交A′M于M,

所以NF.平面A′DE,

则∠FMN为直线FM与平面A′DE新成角.

在Rt△FMN中，NF=a,MN=a,FM=a,

则cos/ =.

所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.

(21)本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。满分15分。

(Ⅰ)解：当a=1,b=2时，

因为f′(x)=(x-1)(3x-5).

故f′(2)=1.

又f（2）＝0，

所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为y＝x－2.

（Ⅱ）证明：因为f′（x）＝3（x－a）（x－），

由于a<b.

故a<.

所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝.

不妨设x₁＝a，x₂＝，

因为x₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f（x）的零点，

故x₃＝b.

又因为－a＝2（b－），

x₄＝（a＋）＝，

所以a，，，b依次成等差数列，

所以存在实数x₄满足题意，且x₄＝.

（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）解：因为焦点F（，0）在直线l上，得

p＝m²，

又m＝2，故p＝4.

所以抛物线C的方程为y²＝8x.

（Ⅱ）证明：因为抛物线C的焦点F在直线l上，

所以p，lm²，

所以抛物线C的方程为y²＝2m²x.

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由消去x得

y²－2m³y－m⁴＝0，

由于m≠0，故＝4m⁶＋4m⁴＞0，

且有y₁＋y₂＝2m³，y₁y₂＝－m⁴，

设M，M₂分别为线段AA₁，BB₁的中点，

由于2

可知G（），H（），

所以

所以GH的中点M.

设R是以线段GH为直径的圆的半径，

则R²=(m²+4)(m²+1)m².

设抛物线的准线与x轴交点N(－，0)，

则=

=m⁴(m⁴+8m²+4)

=m⁴[(m²+1)(m²+4)+3m²]

＞m²(m²+1)(m²+4)=R².

故N在以线段GH为直径的圆外.