2010年全国高考理科数学试题及答案-天津

2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至11页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。
3. 本卷共10小题，每小题5分，共50分。

参考公式：

·如果事件A、B互斥，那么 ·如果事件A、B相互独立，那么

P(A∪B)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B)

·棱柱的体积公式V=Sh, 棱锥的体积公式V=,

其中S标示棱柱的底面积。 其中S标示棱锥的底面积。

h表示棱柱的高。 h示棱锥的高。

1. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
   （1）i 是虚数单位，复数
   1. 1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i

（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是

(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）

（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是

(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数

（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数

（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数

（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

（4）阅读右边的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写

(A)i＜3? （B）i＜4?

（C）i＜5? （D）i＜6?

(5)已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为

（A）（B）

（C）（D）

（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为

（A）或5 （B）或5 （C）（D）

（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=

（A）（B）（C）（D）

（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是

（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）

（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）

(9)设集合A=若AB,则实数a,b必满足

（A）（B）

（C）（D）

(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用

（A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种

2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
3. 本卷共12小题，共100分。

1. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案天灾题中横线上。

（11）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和。

（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

（13）已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为

（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若,则的值为

（15）如图，在中，,,

,则.

（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若，求的值。

（18）.（本小题满分12分）

某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。

（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率

（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；

（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。

（19）（本小题满分12分）

如图，在长方体中，、分别是棱,

上的点，,

1. 求异面直线与所成角的余弦值；
2. 证明平面
3. 求二面角的正弦值。

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。

1. 求椭圆的方程；
2. 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值

（21）（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，

（Ⅲ）如果，且，证明

（22）（本小题满分14分）

在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为。

（Ⅰ）若=，证明，，成等比数列（）

（Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为。

数学（理工类）参考解答

1. 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

（1）A （2）B （3）B （4）D （5）B

（6）C （7）A （8）C （9）D （10）B

二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分24分。

（11）24:23 （12）（13）

（14）（15）(16)

三、解答题

（17）本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。

（1）解：由，得

所以函数的最小正周期为

因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又

，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1

（Ⅱ）解：由（1）可知

又因为，所以

由，得

从而

所以

18.本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。

（1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率

（Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则

=

=

（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为

=

所以的分布列是

（19）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，

点A为坐标原点，设,依题意得,

,,

1. 解：易得,
   于是
   所以异面直线与所成角的余弦值为
2. 证明：已知,,

于是·=0，·=0.因此，,,又

所以平面

(3)解：设平面的法向量，则,即

不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。

于是，从而

所以二面角的正弦值为

方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA₁=4,CF=1.CE=

链接B₁C,BC₁，设B₁C与BC₁交于点M,易知A₁D∥B₁C，由,可知EF∥BC₁.故是异面直线EF与A₁D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以异面直线FE与A₁D所成角的余弦值为

（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC₁⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.

连接BF，同理可证B₁C⊥平面ABF,从而AF⊥B₁C,所以AF⊥A₁D因为，所以AF⊥平面A₁ED

(3)解：连接A₁N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A₁N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A₁N,故为二面角A₁-ED-F的平面角

易知，所以，又所以，在

连接A₁C₁,A₁F 在

。所以

所以二面角A₁-DE-F正弦值为

（20）本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分

（1）解：由，得，再由，得

由题意可知，

解方程组 得 a=2,b=1

所以椭圆的方程为

(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x_1,,y₁）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),

于是A,B两点的坐标满足方程组

由方程组消去Y并整理，得

由得

设线段AB是中点为M，则M的坐标为

以下分两种情况：

（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是

（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为

令x=0，解得

由

整理得

综上

（21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分

（Ⅰ）解：f’

令f’(x)=0,解得x=1

当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表

X	()	1	()
f’(x)	+	0	-
f(x)		极大值

所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。

函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=

（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)

令F(x)=f(x)-g(x),即

于是

当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。

又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).

Ⅲ)证明：（1）

若

（2）若

根据（1）（2）得

由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.

(22)本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。

（Ⅰ）证明：由题设，可得。

所以

=

=2k(k+1)

由=0，得

于是。

所以成等比数列。

（Ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得

当≠1时，可知≠1，k

从而

所以是等差数列，公差为1。

（Ⅱ）证明：，，可得，从而=1.由（Ⅰ）有

所以

因此，

以下分两种情况进行讨论：

1. 当n为偶数时，设n=2m()
   若m=1,则.
   若m≥2，则
   +
   
   所以
2. 当n为奇数时，设n=2m+1（）

所以从而···

综合（1）（2）可知，对任意,,有

证法二：（i）证明：由题设，可得

所以

由可知。可得，

所以是等差数列，公差为1。

（ii）证明：因为所以。

所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得=，故。

从而。

所以，由，可得

。

于是，由（i）可知

以下同证法一。