2011年全国高考理科数学试题及答案-上海

2011年上海市高考数学试题（理科）

一、填空题（56分）

1、函数的反函数为。

2、若全集，集合，则。

3、设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则。

4、不等式的解为 。

5、在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为 。

6、在相距2千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是 千米。

7、若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 。

8、函数的最大值为 。

9、马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表

请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案。

10、行列式（）的所有可能值中，最大的是 。

11、在正三角形中，是上的点，，则。

12、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）。

13、设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。

14、已知点、和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；依次下去，得到点，则。

二、选择题（20分）

15、若，且，则下列不等式中，恒成立的是〖答〗（ ）

ABCD

16、下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为〖答〗（ ）

ABCD

17、设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为〖答〗（ ）

A 0 B 1 C 5 D 10

18、设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为〖答〗（ ）

A是等比数列。

B或是等比数列。

C和均是等比数列。

D和均是等比数列，且公比相同。

三、解答题（74分）

19、（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。

20、（12分）已知函数，其中常数满足。

⑴ 若，判断函数的单调性；

⑵ 若，求时的取值范围。

21、（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点。

⑴ 设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为。

求证：；

⑵ 若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。

22、（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合

中的元素从小到大依次排列，构成数列。

⑴ 求；

⑵ 求证：在数列中、但不在数列中的项恰为；

⑶ 求数列的通项公式。

23、（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。

⑴ 求点到线段的距离；

⑵ 设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；

⑶ 写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，

是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。

①。

②。

③。

2011年上海高考数学试题（理科）答案

一、填空题

1、；2、；3、；4、或；5、；6、；7、；

8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、。

二、选择题

15、；16、；17、；18、。

三、解答题

19、解：………………（4分）

设，则，………………（12分）

∵，∴………………（12分）

20、解：⑴ 当时，任意，则

∵，，

∴，函数在上是增函数。

当时，同理，函数在上是减函数。

⑵

当时，，则；

当时，，则。

21、解：设正四棱柱的高为。

⑴ 连，底面于，∴与底面所成的角为，即

∵，为中点，∴，又，

∴是二面角的平面角，即

∴，。

⑵ 建立如图空间直角坐标系，有

设平面的一个法向量为，

∵，取得

∴ 点到平面的距离为，则。

22、⑴；

⑵ ① 任意，设，则，即

② 假设（矛盾），∴

∴ 在数列中、但不在数列中的项恰为。

⑶，

，，

∵

∴ 当时，依次有，……

∴。

23、解：⑴ 设是线段上一点，则

，当时，。

⑵ 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，

则，点集由如下曲线围成

，

其面积为。

⑶ ① 选择，

② 选择。

③ 选择。