2011年全国高考理科数学试题及答案-北京

2011年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合P=｛x︱x²≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是

A．(-∞, -1] B．[1, +∞）

C．[-1，1]D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）

2．复数

A．iB．-iC．D．

3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是

A．B．

C． (1,0) D．(1，)

4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为

A．-3

B．-

C．

D．2

5．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，

延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：

①AD+AE=AB+BC+CA；

②AF·AG=AD·AE

③△AFB ～△ADG

其中正确结论的序号是

A．①②B．②③

C．①③D．①②③

6．根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是

A．75，25B．75，16C．60，25D．60，16

7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是

A．8B．C．10D．

8．设,，,.记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为

A．B．

C．D．

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．在中。若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。

10．已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则k=___________________。

11．在等比数列{a_n}中，a₁=，a₄=-4，则公比q=______________；____________。

12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个。（用数字作答）

13．已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______

14．曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F¬2（1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：

① 曲线C过坐标原点；

② 曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△FPF的面积大于a。

其中，所有正确结论的序号是 。

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题共13分）

已知函数。

（Ⅰ）求的最小正周期：

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。

16．（本小题共14分）

如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.

(Ⅰ)求证：平面

（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.

17．本小题共13分

以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。

（注：方差，其中为，，……的平均数）

18．（本小题共13分）

已知函数。

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围。

19．（本小题共14分）

已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.

（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（II）将表示为m的函数，并求的最大值.

20．（本小题共13分）

若数列满足，数列为数列，记=．

（Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；

（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；

（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。

参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）A （3）B （4）D

（5）A （6）D （7）C （8）C

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）（10）1

（11）—2（12）14

（13）（0，1） （14）②③

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为

所以的最小正周期为

（Ⅱ）因为

于是，当时，取得最大值2；

当取得最小值—1.

（16）（共14分）

证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD.

又因为PA⊥平面ABCD.

所以PA⊥BD.

所以BD⊥平面PAC.

（Ⅱ）设AC∩BD=O.

因为∠BAD=60°，PA=PB=2,

所以BO=1，AO=CO=.

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则

P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）.

所以

设PB与AC所成角为，则

.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

设P（0，－，t）（t>0），

则

设平面PBC的法向量,

则

所以

令则

所以

同理，平面PDC的法向量

因为平面PCB⊥平面PDC,

所以=0，即

解得

所以PA=

（17）（共13分）

解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

所以平均数为

方差为

（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=

同理可得

所以随机变量Y的分布列为：

Y	17	18	19	20	21
P

EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×

=19

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）

令，得.

当k>0时，的情况如下

x	()		(,k)	k
	+	0	—	0	+
	↗		↘	0	↗

所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k<0时，的情况如下

x	()		(,k)	k
	—	0	+	0	—
	↘	0	↗		↘

所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是

（Ⅱ）当k>0时，因为，所以不会有

当k<0时，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是

所以等价于

解得.

故当时，k的取值范围是

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）由已知得

所以

所以椭圆G的焦点坐标为

离心率为

（Ⅱ）由题意知，.

当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为

此时

当m=－1时，同理可得

当时，设切线l的方程为

由

设A、B两点的坐标分别为，则

又由l与圆

所以

由于当时，

所以.

因为

且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A₅。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A₅）

（Ⅱ）必要性：因为E数列A₅是递增数列，

所以.

所以A₅是首项为12，公差为1的等差数列.

所以a₂₀₀₀=12+（2000—1）×1=2011.

充分性，由于a₂₀₀₀—a₁₀₀₀≤1，

a₂₀₀₀—a₁₀₀₀≤1

……

a₂—a₁≤1

所以a₂₀₀₀—a≤19999，即a₂₀₀₀≤a₁+1999.

又因为a₁=12，a₂₀₀₀=2011,

所以a₂₀₀₀=a₁+1999.

故是递增数列.

综上，结论得证。

（Ⅲ）令

因为

……

所以

因为

所以为偶数,

所以要使为偶数,

即4整除.

当

时，有

当的项满足，

当不能被4整除，此时不存在E数列A_n，

使得