2011年全国高考理科数学试题及答案-天津

2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学理科

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式：

如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互独立，那么

棱柱的体积公式圆锥的体积公式

其中S表示棱柱的底面面积其中S表示圆锥的底面面积

h表示棱柱的高h表示圆锥的高

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．是虚数单位，复数=

A．　　　B．

C．　　　　D．

2．设则“且”是“”的

A．充分而不必要条件　　　　 　　B．必要而不充分条件

C．充分必要条件　　　　　　　　D．即不充分也不必要条件

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为

A．3B．4

C．5D．6

4．已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为

的前项和，，则的值为

A．-110 　　 B．-90

C．90 　D．110

5．在的二项展开式中，的系数为

A．　　　B．　　　C．　　　　D．

6．如图，在△中，是边上的点，且，则的值为

A．　　　B．

C．　　D．

7．已知则

A．　B．C．　　D．

8．对实数和，定义运算“”：设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是

A．　　　B．

C．　　　D．

第II卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法

从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人

数为___________

10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：），则该几何体的体积

为__________

11．已知抛物线的参数方程为（为参数）若斜率为1的

直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，

则=________.

12．如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一

点，且若与圆相切，则

线段的长为__________.

13．已知集合，则集合=________.

14．已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数

（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；

（II）设，若求的大小．

16．（本小题满分13分）

学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）

（Ⅰ）求在1次游戏中，

（i）摸出3个白球的概率；

（ii）获奖的概率；

（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.

17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，

是正方形的中心，，平面，且

（Ⅰ）求异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的

长．

18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．

19．（本小题满分14分）

已知，函数（的图像连续不断）

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，证明：存在，使；

（Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明

．

20．（本小题满分14分）

已知数列与满足：，，且

．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设，证明：是等比数列；

（III）设证明：．

参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分.

BABDCDCB

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分.

9．12 10．11．12．13．14．5

三、解答题

15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分.

（I）解：由，

得.

所以的定义域为

的最小正周期为

（II）解：由

得

整理得

因为，所以

因此

由，得.

所以

16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分.

（I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则

（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又

且A₂，A₃互斥，所以

（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.

所以X的分布列是

X	0	1	2
P

X的数学期望

17．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.

依题意得

（I）解：易得，

于是

所以异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值为

（II）解：易知

设平面AA₁C₁的法向量，

则即

不妨令可得，

同样地，设平面A₁B₁C₁的法向量，

则即不妨令，

可得

于是

从而

所以二面角A—A₁C₁—B的正弦值为

（III）解：由N为棱B₁C₁的中点，

得设M（a，b，0），

则

由平面A₁B₁C₁，得

即

解得故

因此，所以线段BM的长为

方法二：

（I）解：由于AC//A₁C₁，故是异面直线AC与A₁B₁所成的角.

因为平面AA₁B₁B，又H为正方形AA₁B₁B的中心，

可得

因此

所以异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值为

（II）解：连接AC₁，易知AC₁=B₁C₁，

又由于AA₁=B₁A₁，A₁C₁=A₁=C₁，

所以≌，过点A作于点R，

连接B₁R，于是，故为二面角A—A₁C₁—B₁的平面角.

在中，

连接AB₁，在中，

，

从而

所以二面角A—A₁C₁—B₁的正弦值为

（III）解：因为平面A₁B₁C₁，所以

取HB₁中点D，连接ND，由于N是棱B₁C₁中点，

所以ND//C₁H且.

又平面AA₁B₁B，

所以平面AA₁B₁B，故

又

所以平面MND，连接MD并延长交A₁B₁于点E，

则

由

得，延长EM交AB于点F，

可得连接NE.

在中，

所以

可得

连接BM，在中，

18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.

（I）解：设

由题意，可得

即

整理得（舍），

或所以

（II）解：由（I）知

可得椭圆方程为

直线PF₂方程为

A，B两点的坐标满足方程组

消去y并整理，得

解得

得方程组的解

不妨设

设点M的坐标为，

由

于是

由

即，

化简得

将

所以

因此，点M的轨迹方程是

19．本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.

（I）解：，

令

当x变化时，的变化情况如下表：

	+	0	-
		极大值

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是

（II）证明：当

由（I）知在（0，2）内单调递增，

在内单调递减.

令

由于在（0，2）内单调递增，

故

取

所以存在

即存在

（说明：的取法不唯一，只要满足即可）

（III）证明：由及（I）的结论知，

从而上的最小值为

又由，知

故

从而

20．本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.

（I）解：由

可得

又

（II）证明：对任意

①

②

③

②—③，得④

将④代入①，可得

即

又

因此是等比数列.

（III）证明：由（II）可得，

于是，对任意，有

将以上各式相加，得

即，

此式当k=1时也成立.由④式得

从而

所以，对任意，

对于n=1，不等式显然成立.

所以，对任意