2012年全国高考数学试题及答案-江苏卷

绝密★启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

注　意　事　项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

数学Ⅰ

参考公式：

棱锥的体积，其中为底面积，为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合，，则▲．

解析：由已知，集合，，所以{1,2,4,6}.

答案：{1,2,4,6},

2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生．

解析：由已知，高二人数占总人数的，所以抽取人数为.

答案：15

3．设，（i为虚数单位），则的值为▲．

解析：由已知，.

.

答案：8.

4．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是▲．

解析：将带入0=0不满足，

将带入不满足，

将带入不满足，

将带入不满足，

将带入满足，

所以.

答案：.

（第4题）

5．函数的定义域为▲．

解析：由题意，所以.

答案：

6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．

解析：满足条件的数有1，-3，，，，；所以.

答案：.

7．如图，在长方体中，，，

则四棱锥的体积为▲cm³．

（第7题）

解析：.

答案：6.

8．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则m的值为▲．

解析：，解得.

答案：2.

9．如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，

点F在边CD上，若，则的值是▲．

解析：以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴和y轴建立

平面直角坐标系，

则由题意知：点B，点E,设点F，

（第9题）

所以，；

由条件解得点，

所以，；

所以.

答案：.

10．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为▲．

解析：因为，所以，求得.

由，得，解得.

联立，解得

所以.

答案

11．设为锐角，若，则的值为▲．

解析:为锐角，，，；

，

.

答案：.

12．在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是▲．

解析：圆C的圆心为，半径为1；由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点；故存在，使得成立，即；而即为点C到直线的距离，故，解得，即k的最大值是.

答案：

13．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为▲．

解析：由值域为得，即；

，

解得；

不等式的解集为，，解得.

答案：9

14．已知正数满足：则的取值范围是▲．

答案：

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在中，已知．

（1）求证：；

（2）若求A的值．

解析：

16．（本小题满分14分）

F

如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D不同于点C），且为的中点．

E

求证：（1）平面平面；

（2）直线平面ADE．

A

C

D

（第16题）

B

解析：

17．（本小题满分14分）

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

解析：

18．（本小题满分16分）

若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.

已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点．

（1）求a和b的值；

（2）设函数的导函数，求的极值点；

（3）设，其中，求函数的零点个数．

解析：

19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线

与直线平行，与交于点P．

（i）若，求直线的斜率；

（ii）求证：是定值．

解析：

20．（本小题满分16分）

已知各项均为正数的两个数列和满足：．

（1）设，求证：数列是等差数列；

（2）设，且是等比数列，求和的值．

解析：

★此卷上交考点保存★ 姓名 准考证号

绝密★启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅱ(附加题)

注　意　事　项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。本卷满分为40分。考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作

答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD=DC，连结AC，AE，DE．

求证：．

（第21-A题）

解析：

B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．

解析：

C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

解析：

D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知实数x，y满足：求证：．

解析：

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．

（1）求概率；

（2）求的分布列，并求其数学期望．

解析：

23．（本小题满分10分）

设集合，．记为同时满足下列条件的集合A的个数：

①；②若，则；③若，则．

（1）求；

（2）求的解析式（用n表示）．

解析：