2012年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x²≤x}，则M∩N=

A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}

【答案】B

【解析】M={-1,0,1}M∩N={0,1}.

【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.

先求出,再利用交集定义得出M∩N.

2.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是

A.若α≠，则tanα≠1

B. 若α=，则tanα≠1

C. 若tanα≠1，则α≠

D. 若tanα≠1，则α=

【答案】C

【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以 “若α=，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠”.

【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.

3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是

【答案】D

【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.

4.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心（，）

C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg

【答案】D

【解析】由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样本点的中心（，），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确.

【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.

5. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为

A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1

【答案】A

【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.

又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，，即.

又，，C的方程为-=1.

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.

6. 函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为

A． [ -2 ,2] B.[-,] C.[-1,1 ] D.[-,]

【答案】B

【解析】f（x）=sinx-cos(x+)，，值域为[-,].

【点评】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域.

7. 在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则.

1. B.C.D.

【答案】A

【解析】由下图知.

.又由余弦定理知，解得.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意的夹角为的外角.

8．已知两条直线：y=m和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为

A．B.C.D.

【答案】B

【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像如下图，

由= m，得，=，得.

依照题意得.

，.

【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像，结合图像可解得.

二 、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

（一）选做题（请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）

9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线：(t为参数)与曲线：

(为参数，) 有一个公共点在X轴上，则.

【答案】

【解析】曲线：直角坐标方程为，与轴交点为；

曲线：直角坐标方程为，其与轴交点为，

由，曲线与曲线有一个公共点在X轴上，知.

【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线与曲线的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与轴交点，即可求得.

10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.

【答案】

【解析】令，则由得的解集为.

【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.

11.如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_______.

【答案】

【解析】设交圆O于C，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知

【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知，从而求得圆的半径.

(二)必做题（12~16题）

12.已知复数(i为虚数单位)，则|z|=_____.

【答案】10

【解析】=，.

【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的形式，利用

求得.

13.(-)⁶的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）

【答案】-160

【解析】(-)⁶的展开式项公式是.由题意知，所以二项展开式中的常数项为.

【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.

14.如果执行如图3所示的程序框图，输入,n=3,则输出的数S=.

【答案】

【解析】输入,n=3,，执行过程如下：；；，所以输出的是.

【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.

15.函数f（x）=sin ()的导函数的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.

（1）若，点P的坐标为（0，），则;

（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 .

【答案】（1）3；（2）

【解析】（1），当，点P的坐标为（0，）时

；

（2）由图知，，设的横坐标分别为.

设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则，由几何概型知该点在△ABC内的概率为.

【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P在图像上求，

（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.

16.设N=2ⁿ（n∈N^*，n≥2），将N个数x₁,x₂,…，x_N依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P₀=x₁x₂…x_N.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P₁=x₁x₃…x_N-1x₂x₄…x_N，将此操作称为C变换，将P₁分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将P_i分成2ⁱ段，每段个数，并对每段C变换，得到P_i+1，例如，当N=8时，P₂=x₁x₅x₃x₇x₂x₆x₄x₈，此时x₇位于P₂中的第4个位置.

（1）当N=16时，x₇位于P₂中的第___个位置；

（2）当N=2ⁿ（n≥8）时，x₁₇₃位于P₄中的第___个位置.

【答案】（1）6；（2）

【解析】（1）当N=16时,

,可设为,

,即为,

,即, x₇位于P₂中的第6个位置,；

（2）方法同（1）,归纳推理知x₁₇₃位于P₄中的第个位置.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.

需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）		30	25		10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.

（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；

（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.

（注：将频率视为概率）

【解析】（1）由已知,得所以

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得

的分布为

X	1	1.5	2	2.5	3
P

X的数学期望为

.

（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则

.

由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以

.

故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.

【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知

从而解得，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得

该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.

18.（本小题满分12分）

如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.

（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

【解析】

解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，

Ｅ是ＣＤ的中点，所以

所以

而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

（Ⅱ）过点Ｂ作

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE

所成的角，且.

由知，为直线与平面所成的角.

由题意，知

因为所以

由所以四边形是平行四边形，故于是

在中，所以

于是

又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知因为

所以而是平面内的两条相交直线，所以

(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与

所成的角和PB与所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得.

又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为

.

【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.

19.（本小题满分12分）

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+……+a_n，B（n）=a₂+a₃+……+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+……+a_n+2，n=1,2，……

1. 若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式.
2. 证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.

【解析】

解（１）对任意,三个数是等差数列，所以

即亦即

故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是

（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有

由知，均大于０，于是

即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.

（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，

则

　　　，

于是得即

由有即，从而.

因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，

综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.

【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.

20.（本小题满分13分）

某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.

（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；

（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

【解析】

解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为

由题设有

期中均为1到200之间的正整数.

（Ⅱ）完成订单任务的时间为其定义域为

易知，为减函数，为增函数.注意到

于是

（1）当时，此时

，

由函数的单调性知，当时取得最小值，解得

.由于

.

故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为.

（2）当时，由于为正整数，故，此时易知为增函数，则

.

由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.由于

此时完成订单任务的最短时间大于.

（3）当时，由于为正整数，故，此时由函数的单调性知，

当时取得最小值，解得.类似（1）的讨论.此时

完成订单任务的最短时间为，大于.

综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数

分别为44,88,68.

【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.

21.（本小题满分13分）

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在C₂：（x-5）²＋y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值.

（Ⅰ）求曲线C₁的方程；

（Ⅱ）设P(x₀,y₀)（y₀≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.

【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为，由已知得

，

易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以

.

化简得曲线的方程为.

解法2 ：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.

（Ⅱ）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆

相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是

整理得

①

设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故

②

由得③

设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以

④

同理可得

⑤

于是由②，④，⑤三式得

.

所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.

22.（本小题满分13分）

已知函数=，其中a≠0.

1. 若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.

（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解析】（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，

故.

而令

当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当

　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，

令则

令，则.

当时，单调递减；当时，单调递增.

故当，即

从而，又

所以

因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时，.

综上所述，存在使成立.且的取值范围为

.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x)1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.