2012年全国高考理科数学试题及答案-山东卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学

本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

注意事项：

1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：

锥体的体积公式：V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）。

第I卷（共60分）

1. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为

A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i

解析：.答案选A。

另解：设，则

根据复数相等可知，解得，于是。

2 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA）B为

A {1,2,4} B {2,3,4}

C {0,2,4} D {0,2,3,4}

解析：。答案选C。

3 设a＞0 a≠1 ，则“函数f(x)= a^x在R上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2-a) 在R上是增函数”的

A充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

解析：p：“函数f(x)= a^x在R上是减函数 ”等价于；q：“函数g(x)=(2-a)在R上是增函数”等价于，即且a≠1，故p是q成立的充分不必要条件. 答案选A。

（4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为

（A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15

解析：采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即，第k组的号码为，令，而，解得，则满足的整数k有10个，故答案应选C。

解析：作出可行域，直线，将直线平移至点处有最大值，

点处有最小值，即.答案应选A。

（6）执行下面的程序图，如果输入a=4，那么输出的n的值为

（A）2（B）3（C）4（D）5

解析：；

；

，。

答案应选B。

(7)若，，则sin=

（A）（B）（C）（D）

解析：由可得，

，

，答案应选D。

另解：由及可得

，

而当时，结合选项即可得.答案应选D。

（8）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，当-1≤x＜3时，f（x）=x。则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=

（A）335（B）338（C）1678（D）2012

解析：，而函数的周期为6，

.

答案应选B

(9)函数的图像大致为

解析：函数，为奇函数，

当，且时；当，且时；

当，，；当，，.

答案应选D。

（10）已知椭圆C：的离心率为，双曲线x²-y²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为

解析：双曲线x²-y²＝1的渐近线方程为，代入可得，则，又由可得，则，

于是。椭圆方程为，答案应选D。

（11）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为

（A）232 (B)252 (C)472 (D)484

解析：,答案应选C。

另解：.

(12)设函数（x）=，g（x）=ax²+bx若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),则下列判断正确的是

A.当a<0时，x₁+x₂<0,y₁+y₂>0

B.当a<0时, x₁+x₂>0, y₁+y₂<0

C.当a>0时，x₁+x₂<0, y₁+y₂<0

D. 当a>0时，x₁+x₂>0, y₁+y₂>0

解析:令，则，设，

令，则，要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需，整理得，于是可取来研究，当时，，解得，此时，此时；当时，，解得，此时，此时.答案应选B。

另解：令可得。

设

不妨设，结合图形可知，

当时如右图，此时，

即，此时，，即；同理可由图形经过推理可得当时.答案应选B。

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

（13）若不等式的解集为，则实数k=__________。

解析：由可得，即，而，所以.

另解：由题意可知是的两根，则，解得.

（14）如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E,F分别为线段AA₁,B₁C上的点，则三棱锥D₁-EDF的体积为____________。

解析：.

（15）设a＞0.若曲线与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______。

解析：，解得.

（16）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为______________。

解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转

了弧度，此时点的坐标为

.

另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为，且，则点P的坐标为，即.

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

（17）（本小题满分12分）

已知向量m=（sinx，1），函数f（x）=m·n的最大值为6.

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象。求g（x）在上的值域。

解析：（Ⅰ），

则;

（Ⅱ）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，

再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数.

当时，，.

故函数g（x）在上的值域为.

另解：由可得，令，

则，而，则，

于是，

故，即函数g（x）在上的值域为.

（18）（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。

（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；

（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。

解析：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,

由余弦定理可知,

即,在中，∠DAB=60°，，则为直角三角形，且。又AE⊥BD，平面AED，平面AED，且，故BD⊥平面AED；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，则,建立如图所示的空间直角坐标系，，向量为平面的一个法向量.

设向量为平面的法向量，则,即，

取，则，则为平面的一个法向量.

，而二面角F-BD-C的平面角为锐角，则

二面角F-BD-C的余弦值为。

（19）（本小题满分12分）

现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。

（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；

（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX

解析：（Ⅰ）；

（Ⅱ）

,

X	0	1	2	3	4	5
P

EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.

（20）（本小题满分12分）

在等差数列{a_n}中，a₃+a₄+a₅=84，a₉=73.

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）对任意m∈N﹡，将数列{a_n}中落入区间（9^m，9^2m）内的项的个数记为bm，求数列{b_m}的前m项和S_m。

解析：（Ⅰ）由a₃+a₄+a₅=84，a₅=73可得而a₉=73，则，，于是，即.

（Ⅱ）对任意m∈N﹡，，则，

即，而，由题意可知，

于是

，

即.

（21）（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为。

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，的最小值。

解析：（Ⅰ）F抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F，设M，，由题意可知，则点Q到抛物线C的准线的距离为，解得，于是抛物线C的方程为.

（Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，

而，，，

，，

由可得，，则，

即，解得，点M的坐标为.

（Ⅲ）若点M的横坐标为，则点M，。

由可得，设，

圆，

，

于是，令

，

设，，

当时，，

即当时.

故当时，.

22(本小题满分13分)

已知函数f(x) = （k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行。

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）设g(x)=(x²+x),其中为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，。

解析：由f(x) = 可得，而，即，解得；

（Ⅱ），令可得，

当时，；当时，。

于是在区间内为增函数；在内为减函数。

简证（Ⅲ），

当时，，.

当时，要证。

只需证，然后构造函数即可证明。