2013年全国高考文科数学试题及答案-北京卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）

本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．已知集合，，则（ ）

A．B．C．D．

2．设，，，且，则（ ）

A．B．C．D．

3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）

A．B．C．D．

4．在复平面内，复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

5．在中，，，，则（ ）

A．B．C．D．

6．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）

A．B．

C．D．

7．双曲线的离心率大于的充分必要条件是

A．B．

C．D．

8．如图，在正方体中，为对角线的三等分点，则到各顶点的距离的不同取值有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个

第二部分（选择题 共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9．若抛物线的焦点坐标为，则 ，准线方程为 。

10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。

11．若等比数列满足，，则公比；前项和。

12．设为不等式组所表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为 。

13．函数的值域为 。

14．向量，，，若平面区域由所有满足（，）的点组成，则的面积为 。

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）

15．（本小题共13分）

已知函数

（1）求的最小正周期及最大值。

（2）若，且，求的值。

16．（本小题共13分）

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市，并停留2天。

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。

（2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。

（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

17．（本小题共14分）

如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：

（1）底面

（2）平面

（3）平面平面

18．（本小题共13分）

已知函数

（1）若曲线在点处与直线相切，求与的值。

（2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。

19．（本小题共14分）

直线（）：相交于，两点，是坐标原点

（1）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长。

（2）当点在上且不是的顶点时，证明四边形不可能为菱形。

20．（本小题共13分）

给定数列，，，。对，该数列前项的最大值记为，后项，，，的最小值记为，。

（1）设数列为，，，，写出，，的值。

（2）设，，，（）是公比大于的等比数列，且，证明，，，是等比数列。

（3）设，，，是公差大于的等差数列，且，证明，，，是等差数列。

2013年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9．，10．11．，

12．13．14．

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）

15．（本小题共13分）

解：（1）

所以，最小正周期

当（），即（）时

（2）因为

所以

因为，所以

所以，即

16．（本小题共13分）

解：（1）因为要停留2天，所以应该在3月1日至13日中的某天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两天，

所以概率为

（2）此人停留的两天共有13种选择，分别是：，，，，，，，，，，，，

其中只有一天重度污染的为，，，，共4种，

所以概率为

（3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。

17．（本小题共14分）

证明：（1）因为，平面底面且平面底面

所以底面

（2）因为和分别是和的中点，所以，

而平面，平面，所以平面

（3）因为底面，平面

所以，即

因为，，所以

而平面，平面，且

所以平面

因为，所以，所以四边形是平行四边形，

所以，而平面，平面

所以平面，同理平面，

而平面，平面且

所以平面平面， 所以平面

又因为平面

所以平面平面

18．（本小题共13分）

解：（1）

因为曲线在点处的切线为

所以，即，解得

（2）因为

所以当时，单调递增

当时，单调递减

所以当时，取得最小值，

所以的取值范围是

19．（本小题共14分）

解：（1）线段的垂直平分线为，

因为四边形为菱形，

所以直线与椭圆的交点即为，两点

对椭圆，令得

所以

（2）方法一：当点不是的顶点时，

联立方程得

设，，

则，，

若四边形为菱形，则，即

所以

即

因为点不是的顶点，所以，

所以

即，即

所以

此时，直线与轴垂直，所以为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾，

所以四边形不可能为菱形

方法二：

因为四边形为菱形，所以，

设（）

则，两点为圆与椭圆的交点

联立方程得

所以，两点的横坐标相等或互为相反数。

因为点在上

若，两点的横坐标相等，点应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。

若，两点的横坐标互为相反数，点应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。

所以四边形不可能为菱形。

20．（本小题共13分）

解：（1），，

（2）因为，，，（）是公比大于的等比数列，且

所以

所以当时，

所以当时，

所以，，，是等比数列。

（3）若，，，是公差大于的等差数列，则

，，，应是递增数列，证明如下：

设是第一个使得的项，则

，，所以，与已知矛盾。

所以，，，，是递增数列

再证明数列中最小项，否则（），则

显然，否则，与矛盾

因而，此时考虑，矛盾

因此是数列中最小项

综上，（）

于是，也即，，，是等差数列