2013年全国高考文科数学试题及答案-江西卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

文科数学解析

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。

考生注意：

1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。

4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷

1. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数z=i（-2-i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在
   A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
   [答案]：D
   [解析]：Z＝-2i-i² =1-2i 对应点这（1，-2）在第四象限
2. 若集合A=｛x∈R|ax²+ax+1＝0｝其中只有一个元素，则a=

A.4 B.2 C.0 D.0或4

[答案]：A

[解析]：

3. （ ）

A.B.C.D.

[答案]：C

[解析]：

4.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是

AB.C.D.

[答案]：C

[解析]：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（3，1）故只能选C

5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

A.08 B.07 C.02 D.01

[答案]：D

[解析]：从第5列和第6列选出的两位数依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，但编号必须不大于20的且不和前面重复的只能是08，02，14，07，01，选D

6. 下列选项中，使不等式x＜＜成立的x的取值范围是（ ）

A.（，-1） B. （-1，0） C.0，1） D.（1，+）

[答案]：A

[解析]：令x=-2,不等式成立，只能选A。

7.阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是

A.S＜8 B. S＜9

C. S＜10 D. S＜11

[答案]：B

[解析]：依次运行i=1,2,3,4,时s=0，5，8，9若输出i=4,则表示s=8时运行是，s=9运行否，故选B

8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为

A.200+9π

B. 200+18π

C. 140+9π

D. 140+18π

[答案]：A

[解析]：还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6 ，5的长方体上面是半径为3高为2的半个圆柱。

9. 已知点A（2，0），抛物线C：x²=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=

A.2: B.1:2 C. 1: D. 1:3

[答案]：C

[解析]：依题意可得AF所在直线方程为代入x²=4y得，又|FM|：|MN|=（1-y）：（1+y）＝1:

10.如图。已知l₁⊥l₂，圆心在l₁上、半径为1m的圆O

在t=0时与l₂相切于点A，圆O沿l₁以1m/s的速度匀

速向上移动，圆被直线l₂所截上方圆弧长记为x，

令y=cosx，则y与时间t（0≤x≤1，单位：s）

的函数y=f（t）的图像大致为

[答案]：B

[解析]：法1：取特值x=0时t=0,则y=1排除A，D，取时,选B

法2：依题意可知，则选B

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.若曲线（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α=。

[答案]：2

[解析]：，则，故切线方程过点（1，2）解得

12.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于 。

[答案]：6

[解析]：直接计算2+4+8+16+32+64＝128得n=6, 或解得n为6.

13设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是 。

[答案]：

[解析]：得故

14.若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是 。

[答案]：

[解析]：设圆心坐标为（x，y）,半径为r，则x=2,又故r=，则。

15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 。

[答案]：4

[解析]：设CD的中点为M，连结EM，FM易证平面EFM平面α，则EF与平面α平行，不会相交，故EF只与其余四个面相交。

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）　正项数列｛a_n｝满足。

1. 求数列｛a_n｝的通项公式a_n；
2. 令，求数列｛b_n｝的前n项和T_n。

[解析]：

由于｛a_n｝是正项数列，则。

（2）由（1）知，故

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.

1. 求证：a，b，c成等差数列；
2. 若C=，求的值。

[解析]：（1）由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin²B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin²B

因为sinB不为0，所以sinA+sinC=2sinB再由正弦定理得a+c=2b,所以a，b，c成等差数列

（2）由余弦定理知得化简得

18．（本小题满分12分）

小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为以O为起点，再从A₁,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋

1. 写出数量积X的所有可能取值
2. 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率

解：（1） x 的所有可能取值为-2 ，-1 ，0， 1。

（2）数量积为-2的只有一种

数量积为-1的有，六种

数量积为0的有四种

数量积为1的有四种

故所有可能的情况共有15种。

所以小波去下棋的概率为

因为去唱歌的概率为，所以小波不去唱歌的概率

19．（本小题满分12分）

如图，直四棱柱ABCD – A₁B₁C₁D₁中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA₁=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3

1. 证明：BE⊥平面BB₁C₁C;
2. 求点B1 到平面EA₁C₁的距离

解.（1）证明：过B作CD的垂线交CD于F，则

在

在，故

由

（2）

，

同理，

因此。设点B1到平面的距离为d，则

，从而

20.（本小题满分13分）

椭圆C:=1(a>b>0)的离心率，a+b=3

1. 求椭圆C的方程；
2. 如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值。

所以再由a+b=3得a=2,b=1,

①

将①代入，解得

又直线AD的方程为②

①与②联立解得

由三点共线可角得

所以MN的分斜率为m=，则（定值）

21．（本小题满分14分）

设函数 a 为 常数且a∈（0，1）.

1. 当a=时，求f（f（））；
2. 若x₀满足f（f（x₀））= x_0,但f（x₀）≠x_0，则称x₀为f（x）的二阶周期点，证明函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x₁，x₂；
3. 对于（2）中x₁，x₂，设A（x₁,f（f（x₁））），B（x₂,f（f（x₂）））,C(a²,0)，记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[,]上的最大值和最小值。

21.解：（1）当时，

（

当时，由解得x=0,由于f（0）=0,故x=0不是f（x）的二阶周期点；

当时由解得

因

故是f（x）的二阶周期点；

当时，由解得

因故不是f（x）的二阶周期点；

当时，解得

因

故是f（x）的二阶周期点。

因此，函数有且仅有两个二阶周期点，，。

（3）由（2）得

则

因为a在[,]内，故，则

故