2013年全国高考文科数学试题及答案-福建卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学试题（文史类）

第I卷（选择题 共60分）

一．选择题

1．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限．

2．设点，则“且”是“点在直线上”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定．因为点代入直线方程，符合方程，即“且”可推出“点在直线上”；而点在直线上，不一定就是点，即“点在直线上”推不出“且”．故“且”是“点在直线上”的充分而不必要条件．

3．若集合，则的子集个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．16

【答案】C

【解析】本题考查的是集合的交集和子集．因为，有2个元素，所以子集个数为个．

4．双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ）

A．B． C．1 D．

【答案】B

【解析】本题考查的是双曲线的性质．因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为，取一条渐近线为，所以点到直线的距离为．

5．函数的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知，即函数为偶函数，排除C；由函数过点，排除B,D．

6．若变量满足约束条件，则的最大值和最小值分别为（ ）

A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0

【答案】B

【解析】本题考查的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．

7．若，则的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】本题考查的是均值不等式．因为，即，所以，当且仅当，即时取等号．

8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数后，输出的，那么的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】本题考查的是程序框图．循环前：；第1次判断后循环：；第2次判断后循环：；第3次判断后循环：．故．

9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（ ）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】本题考查的三角函数的图像的平移．把代入，解得，所以，把代入得，或，观察选项，故选B

10．在四边形中，，则该四边形的面积为（ ）

A．B． C．5 D．10

【答案】C

【解析】本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长．因为，所以，所以四边形的面积为，故选C

11．已知与之间的几组数据如下表：

	1	2	3	4	5	6
	0	2	1	3	3	4

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为．若某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是（ ）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】本题考查的是线性回归方程．画出散点图，可大致的画出两条直线（如下图），由两条直线的相对位置关系可判断．故选C

12．设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）

A．B．是的极小值点

C．是的极小值点 D．是的极小值点

【答案】D

【解析】本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，A错误；因为和关于原点对称，故是的极小值点，D正确．

二．填空题

13．已知函数，则

【答案】

【解析】本题考查的是分段函数求值．．

14．利用计算机产生之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为

【答案】

【解析】本题考查的是几何概型求概率．，即，所以．

15．椭圆的左、右焦点分别为，焦距为．若直线与

椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于

【答案】

【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，中，，所以有，整理得，故答案为．

16．设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足；

（i）；（ii）对任意，当时，恒有．

那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：

①；

②；

③．

其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号）

【答案】①②③

【解析】本题考查的函数的性质．由题意可知为函数的一个定义域，为其所对应的值域，且函数为单调递增函数．对于集合对①，可取函数，是“保序同构”；对于集合对②，可取函数，是“保序同构”；对于集合对③，可取函数，是“保序同构”．故答案为①②③．

三．解答题

17．（本小题满分12分）已知等差数列的公差，前项和为．

（1）若成等比数列，求；

（2）若，求的取值范围．

本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（1）因为数列的公差，且成等比数列，

所以，

即，解得或．

（2）因为数列的公差，且，

所以；

即，解得

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，，，，．

（1）当正视图方向与向量的方向相同时，画出四棱锥的正视图.（要求标出尺寸，并画出演算过程）；

（2）若为的中点，求证：；

（3）求三棱锥的体积．

本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合能力、化归与转化思想，满分12分．

解法一：

（Ⅰ）在梯形中，过点作，垂足为，

由已知得，四边形为矩形，

在中，由，,依勾股定理得：

，从而

又由平面得，

从而在中，由，,得

正视图如右图所示：

（Ⅱ）取中点，连结，

在中，是中点，

∴，，又,

∴，

∴四边形为平行四边形，∴

又平面，平面

∴平面

（Ⅲ）

又，，所以

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）取的中点，连结,

在梯形中，，且

∴四边形为平行四边形

∴，又平面，平面

∴平面，又在中，

平面,平面

∴平面.又,

∴平面平面，又平面

∴平面

（Ⅲ）同解法一

19．（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有

的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

附表：

本小题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然和或然思想、化归与转化思想等，满分12分．

解：（Ⅰ）由已知得，样本中有周岁以上组工人名，周岁以下组工人名

所以，样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人），

记为，，；周岁以下组工人有（人），记为，

从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，他们是：，，，，，，，，，

其中，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种，它们是：，，，，，，.故所求的概率：

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：

	生产能手	非生产能手	合计
周岁以上组
周岁以下组
合计

所以得：

因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”

20．（本小题满分12分）如图，在抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．点在抛物线上，以为圆心为半径作圆，设圆与准线的交于不同的两点．

（1）若点的纵坐标为2，求；

（2）若，求圆的半径．

本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（Ⅰ）抛物线的准线的方程为，

由点的纵坐标为，得点的坐标为

所以点到准线的距离，又．

所以.

（Ⅱ）设，则圆的方程为，

即.

由，得

设，，则：

由，得

所以，解得，此时

所以圆心的坐标为或

从而，，即圆的半径为

21（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形中，，，点在线段上．

（1）若，求的长；

（2）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小

值．

本小题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（Ⅰ）在中，，，，

由余弦定理得，，

得，

解得或．

（Ⅱ）设，，

在中，由正弦定理，得，

所以，

同理

故

因为，，所以当时，的最大值为，此时的面积取到最小值．即2时，的面积的最小值为．

22（本小题满分14分）已知函数（，为自然对数的底数）．

（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；

（2）求函数的极值；

（3）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．

本小题主要考查函数与导数，函数的单调性、极值、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．满分14分．

解：（Ⅰ）由，得．

又曲线在点处的切线平行于轴，

得，即，解得．

（Ⅱ），

①当时，，为上的增函数，所以函数无极值．

②当时，令，得，．

，；，．

所以在上单调递减，在上单调递增，

故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．

综上，当时，函数无极小值；

当，在处取得极小值，无极大值．

（Ⅲ）当时，

令，

则直线：与曲线没有公共点，

等价于方程在上没有实数解．

假设，此时，，

又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故．

又时，，知方程在上没有实数解．

所以的最大值为．

解法二：

（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）当时，．

直线：与曲线没有公共点，

等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：

（*）

在上没有实数解．

①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解．

②当时，方程（*）化为．

令，则有．

令，得，

当变化时，的变化情况如下表：

当时，，同时当趋于时，趋于，

从而的取值范围为．

所以当时，方程（*）无实数解，

解得的取值范围是．

综上，得的最大值为．