2013年全国高考文科数学试题及答案-陕西卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项:

1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
   第一部分(共50分)
   1.第一部分(共50分)
   一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
   1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为
   1. (－∞,1)(B) (1, + ∞)(C)(D)

【答案】B

【解析】,所以选B

2. 已知向量 , 若a//b, 则实数m等于

(A)(B)

(C)或(D) 0

2.【答案】C

【解析】,所以选C

3. 设a,b,c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是

(A)(B)

(C)(D)

3.【答案】B

【解析】a, b,c≠1. 考察对数2个公式:

对选项A:,显然与第二个公式不符，所以为假。

对选项B:,显然与第二个公式一致，所以为真。

对选项C:,显然与第一个公式不符，所以为假。

对选项D:,同样与第一个公式不符，所以为假。

所以选B

输入x

Ifx≤50Then

y = 0.5 * x

Else

y = 25 + 0.6*(x-50)

EndIf

输出y

4. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为

(A) 25

(B) 30

(C) 31

(D) 61

4.【答案】C

【解析】,所以选C

5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为

1. 0.09(B) 0.20 (C) 0.25(D) 0.45

5.【答案】D

【解析】组距为5，二等品的概率为。所以，从该批产品中随机抽取1件，则其是二等品的概率为0.45. 所以选D

6. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是

(A) 若, 则z是实数(B) 若, 则z是虚数

(C) 若z是虚数, 则(D) 若z是纯虚数, 则

6.【答案】C

【解析】。经观察，C和D选项可能是互相排斥的，应重点注意。

对选项A:,所以为真。

对选项B:,所以为真.

对选项C:,所以为假

对选项D:,所以为真.

所以选C

7. 若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为

1. －6(B) －2(C) 0(D) 2

7.【答案】A

【解析】的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时，2x – y = - 6取最小值。所以选A

8. 已知点M(a,b)在圆外, 则直线ax+by = 1与圆O的位置关系是

1. 相切(B) 相交(C) 相离(D) 不确定

8.【答案】B

【解析】点M(a, b)在圆

=圆的半径，故直线与圆相交。

所以选B.

9. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若, 则△ABC的形状为

1. 直角三角形(B) 锐角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定

9.【答案】A

【解析】因为，所以

又。联立两式得。

所以。选A

10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x,y, 有

(A) [－x] = －[x](B) [x + ] = [x]

(C) [2x] = 2[x](D)

10.【答案】D

【解析】代值法。

对A, 设x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A选项为假。

对B, 设x = 1.8, 则[x+] = 2, [x] = 1, 所以B选项为假。

对C, 设x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以C选项为假。

故D选项为真。所以选D

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 双曲线的离心率为 .

11.【答案】

【解析】

12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .

12.【答案】

【解析】 综合三视图可知，立体图是一个半径r=1的半个球体。其表面积 =

13. 观察下列等式:

…

照此规律, 第n个等式可为 .

13.【答案】

【解析】考察规律的观察、概况能力，注意项数，开始值和结束值。

第n个等式可为:

14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 (m).

14.【答案】20

【解析】 利用均值不等式解决应用问题。设矩形高为y, 由三角形相似得:

.

15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)

A. (不等式选做题) 设a,b∈R, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式的解集是 .

B. (几何证明选做题) 如图, AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知,PD = 2DA = 2, 则PE = .

C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是 .

15. A 【答案】R

【解析】 考察绝对值不等式的基本知识。函数的值域为：

.

所以，不等式的解集为R。

B【答案】

【解析】

C【答案】 (1, 0)

【解析】

三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16. (本小题满分12分)

已知向量, 设函数.

(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x)在上的最大值和最小值.

16.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).

【解析】(Ⅰ)

=。

最小正周期。

所以最小正周期为。

(Ⅱ).

.

所以，f (x)在上的最大值和最小值分别为.

17. (本小题满分12分)

设S_n表示数列的前n项和.

(Ⅰ) 若为等差数列, 推导S_n的计算公式;

(Ⅱ) 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列.

17.【答案】(Ⅰ);

(Ⅱ)是首项,公比的等比数列。

【解析】(Ⅰ) 设公差为d,则

.

(Ⅱ)。

.

所以,是首项,公比的等比数列。

18. (本小题满分12分)

如图, 四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A₁O⊥平面ABCD,.

(Ⅰ) 证明: A₁BD // 平面CD₁B₁;

(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A₁B₁D₁的体积.

18.【答案】(Ⅰ),见下.

(Ⅱ)1

【解析】(Ⅰ) 设.

.

.(证毕)

(Ⅱ).

在正方形AB CD中,AO = 1 .

.

所以，.

19. (本小题满分12分)

有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:

组别	A	B	C	D	E
人数	50	100	150	150	50

(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.

组别	A	B	C	D	E
人数	50	100	150	150	50
抽取人数		6

(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.

19.【答案】(Ⅰ).

组别	A	B	C	D	E
人数	50	100	150	150	50
抽取人数	3	6	9	9	3

(Ⅱ)

【解析】(Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。

从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人。

(Ⅱ)A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为·

B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为·

现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率.

所以，从A,B两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为.

20. (本小题满分13分)

已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.

20.【答案】(Ⅰ)..(Ⅱ)

【解析】(Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则

.

所以，动点M的轨迹为 椭圆，方程为

(Ⅱ) P(0, 3), 设

椭圆经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。.联立椭圆和直线方程，整理得：

所以，直线m的斜率

21. (本小题满分14分)

已知函数.

(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

(Ⅱ) 证明: 曲线y=f (x)与曲线有唯一公共点.

(Ⅲ) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.

21.【答案】(Ⅰ)y = x+ 1.

当m时,有0个公共点；当m=,有1个公共点；当m有2个公共点；

(Ⅲ)>

(Ⅱ)【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数,则y=g(x)过点（1,0）的切线斜率k=.

.过点（1,0）的切线方程为：y = x+ 1

(Ⅱ)证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点，过程如下。

因此，

所以，曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕）

(Ⅲ)设

令。

，且

。

所以