2013年全国高考理科数学试题及答案-海南卷

绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I卷)

数学(理科)

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

（1）已知集合，，则

（A）（B）（C）（D）

（2）若复数满足

（A）（B） （C）4 （D）

（3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是

（A）简单的随机抽样 （B）按性别分层抽样

（C）按学段分层抽样 （D）系统抽样

（4）已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为

（A）（B）（C）（D）

（5）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的属于

（A）（B）（C）（D）

（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如不计容器的厚度，则球的体积为

（A）（B）

（C）（D）

（7）设等差数列的前项和为，若，，，则

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
   （A）
   （B）
   （C）
   （D）
   
2. 设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则＝
   （A）5 （B）6 （C）7 （D）8
3. 已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点。若的中点坐标为，则的方程为
   （A）（B）
   （C）（D）
4. 已知函数，若，则的取值范围是

（A）（B）（C）（D）

（12）设的三边长分别为,,，的面积为，……

若＞，，，，，则

（A）为递减数列

（B）为递增数列

（C）为递增数列，为递减数列

（D）为递减数列，为递增数列

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。

1. 填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）已知两个单位向量，的夹角为60°，.若=0，则

=____________.

（14）若数列的前项和为，则数列的通项公式是=____________.

（15）设当时，函数取得最大值，则=____________.

（16）若函数的图像关于直线对称，则的最大值

为____________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

如图，在中，＝90°，，，

为内一点，＝90°

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若＝150°，求.

（18）（本小题满分12分）

如图，三棱柱中，，，=60°.

（Ⅰ）证明⊥;

（Ⅱ）若平面⊥平面，，求直线与平面所成角的正弦值。

（19）（本小题满分12分）

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立.

（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；

（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望。

（20）（本小题满分12分）

已知圆：，圆：，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长时，求.

（21）（本小题满分12分）

已知函数，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线.

（Ⅰ）求，，，的值；

（Ⅱ）若－2时，，求的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，∠的角平分线交圆于点，垂直交圆于.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设圆的半径为1，，延长交于点，求外接圆的半径.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程式（为参数），以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）把的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求与交点的极坐标（,）

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数，.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）设，且当时，，求的取值范围.

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