2013年全国高考理科数学试题及答案-广东卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）逐题详解

参考公式:台体的体积公式,其中分别是台体的上、下底面积,表示台体的高.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．设集合,,则( )

1. B．C．D．

【解析】D；易得,,所以,故选D．

2．定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是( )

1. B．C．D．

【解析】C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为与,故选C．

3．若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是( )

1. B．C．D．

【解析】C；对应的点的坐标是,故选C．

4．已知离散型随机变量的分布列为

则的数学期望 ( )

A .B．C．D．

【解析】A；,故选A．

5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )

A .B．

C．D．

【解析】B；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为

和的正方形,高为,故,,故选B．

6．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )

A .若,,,则B．若,,,则

C．若,,,则D．若,,,则

【解析】D；ABC是典型错误命题,选D．

7．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 ( )

A .B．C．D．

【解析】B；依题意,,所以,从而,,故选B．

8．设整数,集合.令集合

若和都在中,则下列选项正确的是( )

A .,B．,

C．,D．,

【解析】B；特殊值法,不妨令,,则,,故选B．

如果利用直接法:因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，.综合上述四种情况，可得，.

二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分

(一)必做题(9～13题)

9．不等式的解集为___________．

【解析】；易得不等式的解集为.

10．若曲线在点处的切线平行于轴,则______.

【解析】；求导得,依题意,所以.

11．执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为______.

【解析】；第一次循环后:；第二次循环后:；

第三次循环后:；第四次循环后:；故输出.

第11题图

12. 在等差数列中,已知,则_____.

【解析】；依题意,所以.

或:

13. 给定区域:,令点集

是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______

条不同的直线.

【解析】；画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线.

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.

【解析】；曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即.

15.(几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,

延长到使,过作圆的切线交于.若

,,则_________.

【解析】；依题意易知,所以,又

,所以,从而.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知函数,.

(Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 若,,求．

【解析】(Ⅰ)；

(Ⅱ)

因为,,所以,

所以,

所以.

17．（本小题满分12分）

某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；

(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.

根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；

(Ⅲ) 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀

工人的概率.

【解析】(Ⅰ) 样本均值为；

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间名工人中有名优秀工人.

(Ⅲ) 设事件:从该车间名工人中,任取人,恰有名优秀工人,则.

18．（本小题满分14分）

如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,

为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.

(Ⅰ) 证明:平面；

(Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.

【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得

连结,在中,由余弦定理可得

由翻折不变性可知,

所以,所以,

理可证, 又,所以平面.

(Ⅱ)传统法:过作交的延长线于,连结,

因为平面,所以,

所以为二面角的平面角.

结合图1可知,为中点,故,从而

所以,所以二面角的平面角的余弦值为.

向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,

则,,

所以,

设为平面的法向量,则

,即,解得,令,得

由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量,

所以,即二面角的平面角的余弦值为.

19．（本小题满分14分）

设数列的前项和为.已知,,.

(Ⅰ) 求的值；

(Ⅱ) 求数列的通项公式；

(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.

【解析】(Ⅰ) 依题意,,又,所以；

(Ⅱ) 当时,,

两式相减得

整理得,即,又

故数列是首项为,公差为的等差数列,

所以,所以.

(Ⅲ) 当时,；当时,；

当时,,此时

综上,对一切正整数,有.

20．（本小题满分14分）

已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.

(Ⅰ) 求抛物线的方程；

(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；

(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.

【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,

解得.

所以抛物线的方程为.

(Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得

设,(其中),则切线的斜率分别为,,

所以切线的方程为,即,即

同理可得切线的方程为

因为切线均过点,所以,

所以为方程的两组解.

所以直线的方程为.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知,,

所以

联立方程,消去整理得

由一元二次方程根与系数的关系可得,

所以

又点在直线上,所以,

所以

所以当时,取得最小值,且最小值为.

21．（本小题满分14分）

设函数(其中).

(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间；

(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.

【解析】(Ⅰ) 当时,

,

令,得,

当变化时,的变化如下表:

		极大值		极小值

右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.

(Ⅱ),

令,得,,

令,则,所以在上递增,

所以,从而,所以

所以当时,；当时,；

所以

令,则,

令,则

所以在上递减,而

所以存在使得,且当时,,

当时,,

所以在上单调递增,在上单调递减.

因为,,

所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.

综上,函数在上的最大值.