2013年全国高考理科数学试题及答案-新课标2

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

数学(理科)

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
   第Ⅰ卷（选择题共50分）
   一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
   1、已知集合，，则（ ）
   （A）｛0,1，2｝ （B）｛－1,0，1,2｝（C）｛－1,0，2,3｝ （D）｛0,1，2,3｝
   【答案】A
   【解析】因为，,所以，选A.
   2、设复数满足则＝（ ）
   （A）（B）（C）（D）
   【答案】A
   【解析】，所以选A.
   3、等比数列的前项和为，已知，，则＝（　　）
   （A）（B）（C）（D）
   【答案】C
   4、已知，为异面直线，⊥平面，⊥平面，直线满足⊥，⊥，，　，则（ ）
   （A）∥且∥　　　　　　（B）⊥且⊥
   （C）与相交，且交线垂直于（D）与相交，且交线平行于
   【答案】D
   5、已知的展开式中的系数是5，则＝（　　）
   （A） －4 （B） －3 （C）－2 （D）－1
   【答案】D
   6、执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）
   
   【答案】B
   【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，第四次循环，，依此类推，选B.
   7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
   
   1. (B)(C)(D)

【答案】A

【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.

8、设，，，则（ ）

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

9、已知＞0，满足约束条件， 若＋的最小值是1，则＝（ ）

（A）（B） （C）1 （D）2

【答案】B

10、已知函数，下列结论中错误的是（ ）

（A），

（B）函数的图象是中心对称图形

（C）若是的极小值点，则在区间单调递减

（D）若是的极值点，则

【答案】C

【解析】若则有，所以A正确。由得，因为函数的对称中心为（0,0），所以的对称中心为,所以B正确。由三次函数的图象可知，若是f(x)的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（-∞,）单调递减是错误的，D正确。选C.

11、设抛物线的焦点为，点M在C上，｜MF｜＝5，若以MF为直径的圆过点（0,2），则C的方程为（ ）

（A）或（B）或

（C）或（D）或

【答案】C

12、已知A（－1,0），B（1,0），C（0,1），直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则的取值范围是（ ）

（A）（0,1） （B） （C）（D）

【答案】B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知正方形的边长为，为的中点，则_______。

【答案】

【解析】在正方形中，,,所以。

（14）从个正整数，…，中任意取出两个不同的数，若其和为的概率是，则＝　　　　。

【答案】8

【解析】取出的两数之和等于5的概率为，＝8。

（15）设为第二象限角，若，则　　　　。

【答案】

（16）等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为　　　。

【答案】－49

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

△ABC的内角的对边分别为已知

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若＝2，求△ABC的面积的最大值。

（18）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点。AB

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值。

（19）（本小题满分12分）

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了该农产品。以（单位：，）表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。

（Ⅰ）将表示为的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000的概率；

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入的T的数学期望。

（20）（本小题满分12分）

平面直角坐标系中，过椭圆M：右焦点的直线交M于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为。

（Ⅰ）求M的方程

（Ⅱ）C、D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值。

（21）（本小题满分12分）

已知函数。

（Ⅰ）设是的极值点，求并讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明＞0。

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，、分别为弦与弦上的点，且，、、、四点共圆。

（Ⅰ）证明：是外接圆的直径；

（Ⅱ）若，求过、、、四点的圆的面积与外接圆面积的比值。

（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程

已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点。

（Ⅰ）求的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点。

（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲

设均为正数，且，证明：

（Ⅰ）；（Ⅱ）