2014年全国高考文科数学试题及答案-北京卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷

文科数学

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合，，则（ ）

1. B.C.D.

2.下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）

1. B.C.D.
   3.已知向量，，则（ ）
   1. B.

C.D.

4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）

1. B.

C.D.

5. 设、是实数，则“”是“”的（ ）

A.充分而不必要条件

B.必要而不必要条件

C.充分必要条件

D.既不充分不必要条件

6. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）

A.B.C.D.

7.已知圆和两点，，若圆上存在点

，使得，则的最大值为（ ）

A.B.C.D.

8. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）

A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟

第2部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 若，则.

10. 设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为 .

11. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .

12. 在中，，，，则；.

13.若、满足，则的最小值为 .

14. 顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：

工序 时间 原料	粗加工	精加工
原料
原料

则最短交货期为 工作日.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

16.（本小题满分13分）函数的部分图象如图所示.

（1）写出的最小正周期及图中、的值；

（2）求在区间上的最大值和最小值.

17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积.

18. （本小题满分13分）

从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

（2）求频率分布直方图中的a，b的值；

（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）

19. （本小题满分14分）

已知椭圆C：.

1. 求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.

20. （本小题满分13分）

已知函数.

（1）求在区间上的最大值；

（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；

（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 

1．C2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．B 

 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 

9．2 10.11.12. 2

13. 1 14. 42

三、解答题（共6小题，共80分）

 15．（共13分）

解：（1）设等差数列的公差为，由题意得

设等比数列的公比为，由题意得

，解得

所以

从而

（2）由（1）知

数列的前项和为，数列的前项和为

所以，数列的前n项和为

16.（共13分）

解：（Ⅰ）的最小正周期为

（Ⅱ）因为，所以

于是

当，即时，取得最大值；

当，即时，取得最小值；

17.（共14分）

解：（Ⅰ）在三棱柱中，，

所以，

又因为，

所以，

所以平面

（Ⅱ）取AB中点G，连结EG,FG

因为E，F分别是的中点，

所以，且，

因为，且，

所以，且

所以四边形为平行四边形

所以

又因为平面平面，

所以平面

（Ⅲ）因为，

所以

所以三棱锥的体积

18.（共13分）

解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读事件不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是

从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9。

（Ⅱ）课外阅读时间落在组[4，6）的有17人，频率为0.17，所以

课外阅读时间落在组[8，10）的有25人，频率为0.25，所以

（Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．

19.（共14分）

解：（Ⅰ）由题意，椭圆的标准方程为

所以，从而

因此，

故椭圆的离心率

（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中

因为，所以，即，解得

又，所以

（）

因为（），且当时等号成立，所以

故线段AB长度的最小值为

20.（共13分）

解：（Ⅰ）由，得

令，得或

因为

所以在区间[-2，1]上的最大值为

（Ⅱ）设过点的直线与曲线相切于点，

则，且切线斜率为

所以切线方程为

因此

整理得

设，

则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”，

与的情况如下：

		0	（0，1）	1
	+	0		0	+

所以，是的极大值，是的极小值。

当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点。

当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点。

当，即时，因为，所以分别在区间[-1，0]，[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点。

综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是（-3，-1）。

（Ⅲ）过点存在3条直线与曲线线切；

过点存在2条直线与曲线线切；

过点存在1条直线与曲线线切；